Öka eller minska problem
Då är det bra att du nu vet vad f'(3) egentligen betyder.
Rita en figur, en liten del av f(x) i närheten av x=3. Det spelar ingen roll hur f(x) ser ut för övrigt, det enda som är intressant här är hur f(x) ser ut precis i närheten av x=3.
Hur ser kurvan ut där?
Det där är jag osäker på måste jag säga.
f'(3) det är samma sak som f(3) som betyder att har man x i funktionen kan man stoppa tre i den. Det här betyder derivatan 3 som har antagligen den lutningen.
Det här är besvärliga saker. Jag ska göra ett försök.
Ja det är ju jättebra Päivi.
- f'(3) > 0 betyder att tangentens lutning är positiv vid x = 3.
- f'(3) < 0 betyder att tangentens lutning är negativ vid x = 3.
Använd dessa två skisser för att svara på frågorna.
a) Om f'(3) > 0 så har tangenten positiv lutning. Vad händer då med funktionsvärdet då x ökar?
För att förtydliga: Du vet att differenskvoten (f(3+h)-f(x))/h är större än 0, eller hur?
Det betyder att du vet om f(x+h) är större än eller mindre än f(x), eller hur?
Om du läser frågan noga så inser du nog att det är just det de frågar efter.
Vad menas man om x ökar? Om jag ska förstå mig på det hela så skulle man ta större x värden ex 4, men lutningen förändras ju vid f'(3)
ja, det här inte enkelt, när man inte är van.
Man menar alltså att man ökar x lite grand. Du står vid x = 3 och ökar x lite lite, vad händer då med y värdet? Ökar det, minskar det, eller är det oförändrat?
Päivi skrev :Vad menas man om x ökar? Om jag ska förstå mig på det hela så skulle man ta större x värden ex 4, men lutningen förändras ju vid f'(3)
ja, det här inte enkelt, när man inte är van.
Att x ökar lite grann innebär att du går från x till x+h.
Då går funktionsvärdet från f(x) till f(x+h).
Frågan gäller alltså vad som händer med funktionsvärdet. Hur ter sig f(x+h) jämfört med f(x)?
Är f(x+h) större än eller mindre än f(x)?
Titta på differenskvotens värde om du är osäker. Eller ännu bättre, titta i din figur!
a och b ökar, men jag är fortfarande osäker på det hela. Är det kurvan som jag ska titta på eller vilket håll lutningen går om lutningen ökar. Det här är inget jag än förstår mig på än.
Ja hur drar du slutsatsen att det ökar i a och b?
Om lutningen ökar? Det är inte lutningen som man säger ökar, utan det är x-värdet som förändras och man undrar vad som då händer med y-värdet.
Päivi skrev :a och b ökar, men jag är fortfarande osäker på det hela.
Ja det stämmer.
Är det kurvan som jag ska titta på eller vilket håll lutningen går om lutningen ökar. Det här är inget jag än förstår mig på än.
De frågar efter vad som händer med funktionsvärdet i de olika fallen.
- I de fallen där "x ökar" så ska du avgöra om f(3+h) är större än eller mindre än f(3). Du ska då alltså titta en liten bit "framåt"
- I de fallen där "x minskar" så ska du avgöra om f(3-h) är större än eller mindre än f(3). Du ska då alltså titta en liten bit "bakåt"
Nu är jag osäker. Ökar man lite på x värdet i x axeln, så går kurvan uppåt hela tiden. Detta är mitt svar på a uppgiften.
B uppgiften om x minskar något så blir det brantare kurva.
Jag vet inte om jag har förstått det här.
Päivi skrev :Nu är jag osäker. Ökar man lite på x värdet i x axeln, så går kurvan uppåt hela tiden. Detta är mitt svar på a uppgiften.
Ja det stämmer.
B uppgiften om x minskar något så blir det brantare kurva.
Jag förstår inte vad du menar.
Jag vet inte om jag har förstått det här.
Jag föreslår att du markerar f(3+h) och f(3-h) i dina båda skisser av grafen. Då ser du klart och tydligt i vilka fall
- f(3+h) är större än respektive mindre än f(3).
- f(3-h) är större än respektive mindre än f(3).
Päivi skrev :
Bra. Rita även in (3-h) och f(3-h) i övre figuren samt (3+h) och f(3+h) i undre figuren.
Då har du alla 6 punkterna tydligt framför dig och kan lättare svara på frågorna utan att hålla så mycket saker i huvudet.
Förutom att du har skrivit f(x) under trean vid x-axeln i övre figuren så ser den bra ut.
Gör nu på samma sätt i undre figuren. Låt grafen fortsätta en bit till höger om x=3 så att du har något att sätta ut din punkt på.
Den där sista bilden ser ganska konstig ut Päivi. Sådär läser du inte av en graf.
De y-värden du har markerat tillhör de x-värden jag har markerat. Du läser alltså av grafen fel.
Ja, det gör de. Jag har lite problem med internet just nu. Tänkte ta nytt kort, men måste vänta tills jag har lite bättre sändning. Återkommer om en stund.
Hej Päivi.
Det jag har försökt säga till dig är att du ska skissa graferna och punkterna på följande sätt.
Håller du med om att den översta av dessa två grafer visar ett exempel på en funktion där f'(3) > 0 och den undre visar ett exempel på en funktion där f'(3) < 0?
Är det här A och B uppgiften vi nu pratar om, Yngve? Jag har skrivit A, B och C.
Förtydligande: De blå punkterna , och ligger alltså på den gröna funktionskurvan.
Päivi skrev :Är det här A och B uppgiften vi nu pratar om, Yngve? Jag har skrivit A, B och C.
Graferna är bara ditt tankestöd så att du inte ska behöva hålla så mycket saker i huvudet samtidigt Päivi.
EDIT - korrigerat skrivfel.
Du ska använda den övre grafen för att besvara fråga a och fråga c d.
Du ska använda den undre grafen för att besvara fråga b och fråga d c.
Du har inte svarat på min fråga: Håller du med om att den översta av dessa två grafer visar ett exempel på en funktion där f'(3) > 0 och den undre visar ett exempel på en funktion där f'(3) < 0?
Ja, det gör jag ,Yngve!
Jag har svårt med internet. Har inte kunnat skicka någonting.
Päivi skrev :Ja, det gör jag ,Yngve!
Jag har svårt med internet. Har inte kunnat skicka någonting.
Bra.
Ta det lugnt Päivi. Det är viktigare att du verkligen förstår det här än att du skickar bilder hit.
Är du också med på följande?
- Om x "ökar" från 3 så går man åt höger från x = 3?
- Om x "minskar" från 3 så går man åt vänster från x = 3?
2 inlägg borttagna på begäran av användaren. /moderator
Ja, det är jag, Yngve
Nu är jag fundersam på avläsning här.
A) f'(3)<0 och x ökar., då ökar y
B )f'(3)<0 i x minskar hur ska man läsa här?
b) Här är och x minskar. Då ska du alltså kolla på Yngves figur i fall 2. Eftersom x minskar så ska du gå åt vänster. Vad händer då med y värdet?
B uppgiften y ökar.
C uppgiften f'(3)>0 och x minskar. Vad ska man titta här?
Päivi skrev :B uppgiften y ökar.
C uppgiften f'(3)>0 och x minskar. Vad ska man titta här?
Är du med på följande Päivi?
- Du ska använda den övre grafen för att besvara fråga a och fråga c.
- Du ska använda den undre grafen för att besvara fråga b och fråga d.
Det blev snurrigt värre det här. Jag trodde att övre grafen var till A och D, därför blev jag fundersam och nedre graf var till B och c
Päivi skrev :Det blev snurrigt värre det här. Jag trodde att övre grafen var till A och D, därför blev jag fundersam och nedre graf var till B och c
Ja förlåt jag skrev fel tidigare.
Den övre grafen visar exempel på en funktion som har f'(3) > 0, vilket är fallet i fråga a och c.
Den undre grafen visar exempel på en funktion som har f'(3) < 0, vilket är fallet i fråga b och d.
Om vi nu tar en uppgift i taget:
Uppgift a: f'(3) > 0 och x ökar.
- Vilken av mina grafer ska du titta på?
- Åt vilket håll från x = 3 ska du gå?
- Ökar eller minskar då funktionsvärdet?
Jag var tvungen ta den här sidan även från datorn så jag kan besvara frågorna som ställs.
1) översta.
2) till höger
3 ) y ökar.
Päivi skrev :Jag var tvungen ta den här sidan även från datorn så jag kan besvara frågorna som ställs.
1) översta.
2) till höger
3 ) y ökar.
Rätt! Då tar vi nästa.
Uppgift b: f'(3) < 0 och x minskar.
- Vilken av mina grafer ska du titta på?
- Åt vilket håll från x = 3 ska du gå?
- Ökar eller minskar då funktionsvärdet?
Ja, idag har jag varit snurrigt värre.
Man ska titta på enbart på tecknet
om 0<3
eller 3>0
Det kom jag på nyss. Tecknet talar om, om det minskar eller ökar.
B uppgiften
1) nedersta.
2) till vänster
3) y värdet ökar
Jag antar att du menar att du ska titta om eller ??
Det stämmer.
Hur blir det på c) uppgiften då?
1) översta.
2) åt vänster
3) y-värdet minskar.
Päivi skrev :
Det här är jättesnyggt och jätterätt Päivi!
Men det absolut viktigaste här är frågan om du verkligen har förstått detta eller om du bara har följt våra anvisningar fram till rätt svar.
Om du har fått en "aha"-upplevelse i och med detta så är sannolikheten stor att du även verkligen har förstått det hela.
Jag har förstått det hela. Skulle jag inte ha gjort det, skulle jag ställa ännu mera frågor. Nu behövs det inte ställas mer.
Man är lite ovan, när allting är så nytt och sedan heter det också derivata , Yngve.
