Oegentligt gränsvärde

För att f(x) ska ha ett oegentligt gränsvärde när x går mot a så ska man till varje K kunna hitta ett Delta>0 sådant att om x tillhör en Deltaomgivning till a så gäller f(x) > K. Det aktuella valet av Delta är inte unikt. Du kan t ex halvera det valda Deltat så blir f(x) fortfarande > K. 

Jag förstår fortfarande inte hur man har bevisat någonting, det känns som att man likaväl hade kunnat skriva $K<\frac{1}{{\left(x-a\right)}^2}$ direkt. De skriver att delta = min(något slumpat a,b om jag har förstått dig rätt?) och sedan kvadrerar (borde bli $\frac{1}{4\left|K\right|}$?) och inverterar de absolutbeloppet vilket ger en olikhet mellan K och ursprungsfunktionen. Är det då en generell metod att försöka skriva om deltaomgivningen till en olikhet mellan funktionen och gränsvärdet/oegentliga gränsvärdet?

1. Det jag skrev var definitionen på oegentligt gränsvärde och definitioner bevisar man inte. 2. Självklart spelar det du kallar ”ursprungsfunktionen” en avgörande roll för hur man bestämmer sitt Delta, men beroendet behöver inte vara entydigt. Det finns knappast någon generell metod i form av en maskin som spottar fram Deltan åt oss. Vi strävar ju också efter så enkla Delta-uttryck som möjligt för vi har ju fortfarande att bevisa att. f(x) blir stort när abs(x-a) <Delta.

Det är rätt konstigt att det inte blir 1/4|K|, det är nog fel.

Men å andra sidan spelar det knappt någon roll med den där 2:an i definitonen av delta, vilket tal som helst >1 hade funkat.

I det du skriver Baguesses så reagerar jag på att du skriver "delta = min(något slumpat a,b om jag har förstått dig rätt?)". Det finns inget slumpat inblandat här. 

Smutsmunnen skrev:

Det är rätt konstigt att det inte blir 1/4|K|, det är nog fel.

Men å andra sidan spelar det knappt någon roll med den där 2:an i definitonen av delta, vilket tal som helst >1 hade funkat.

I det du skriver Baguesses så reagerar jag på att du skriver "delta = min(något slumpat a,b om jag har förstått dig rätt?)". Det finns inget slumpat inblandat här. 

För att förtydliga undrade jag alltså om $\frac{1}{2\sqrt{\left|K\right|}}$ och 1 har tagits fram genom beräkningar.

Alltså vi kan ju räkna baklänges istället. Jag visar först för K>=1.

$\frac{1}{{(x-a)}^2}>K \iff \frac{1}{K}>{(x-a)}^2\iff \frac{1}{\sqrt{K}}>|x-a|\iff \frac{1}{b\sqrt{K}}\ge |x-a|$

för något b>1 (exempelvis 2).

Problem infinner sig nu för andra K. Du kan fundera på hur man kan anpassa resonemanget för andra K, men i princip att de använder |K| istället för K handlar om att hantera K<0 och att de använder min(1/2rot(K),1) handlar om att hantera när 0<K<1.

Smutsmunnen skrev:

Alltså vi kan ju räkna baklänges istället. Jag visar först för K>=1.

$\frac{1}{{(x-a)}^2}>K \iff \frac{1}{K}>{(x-a)}^2\iff \frac{1}{\sqrt{K}}>|x-a|\iff \frac{1}{b\sqrt{K}}\ge |x-a|$

för något b>1 (exempelvis 2).

Problem infinner sig nu för andra K. Du kan fundera på hur man kan anpassa resonemanget för andra K, men i princip att de använder |K| istället för K handlar om att hantera K<0 och att de använder min(1/2rot(K),1) handlar om att hantera när 0<K<1.

Okej det låter rimligt men hur får man 1 när 0<K<1?

Varifrån får du att K ska ligga i intervallet (0,1)?  Uppgiften går ut på att visa att uttrycket är större än K Oavsett Hur Stort  K Är, bara x ligger i en lämplig Delta-omgivning till a.

Baguesses skrev:

Smutsmunnen skrev:

Alltså vi kan ju räkna baklänges istället. Jag visar först för K>=1.

$\frac{1}{{(x-a)}^2}>K \iff \frac{1}{K}>{(x-a)}^2\iff \frac{1}{\sqrt{K}}>|x-a|\iff \frac{1}{b\sqrt{K}}\ge |x-a|$

för något b>1 (exempelvis 2).

Problem infinner sig nu för andra K. Du kan fundera på hur man kan anpassa resonemanget för andra K, men i princip att de använder |K| istället för K handlar om att hantera K<0 och att de använder min(1/2rot(K),1) handlar om att hantera när 0<K<1.

Okej det låter rimligt men hur får man 1 när 0<K<1?

Om 0<K<1 så väljer vi delta=1 för då

$|x-a|<1 \Rightarrow 1<\frac{1}{|x-a|}\Rightarrow K<1<\left(\frac{1}{|x-a{|}^2}\right)=\frac{1}{{(x-a)}^2}$