ODE

Hej!

Integrerande faktor för $\frac{\partial u}{\partial r}$ kan vara en bra början.

Tack för svar!

Jag googlade integrerande faktor och läste på matteboken.se Jag fick den till

e^(ln(r) + C) = r*e^C

Jag tog även y=u'(r) så den nya ekvationen blir

y'+y/r=r^2

Efter integrerande faktor multiplicerad på båda sidor

(r*e^C)(y'+y/r) = r^2(r*e^C)

Förkortar med e^C på båda sidor

r*y'+y = r^3

Omskrivning av vänsterled m.h.a produktregeln

(ry)'r = 1*y+r*y'

Ger

(ry)'r = r^3

Integrerar båda sidor med avseende på r

ry = (r^4)/4 + D

y = (r^3)/4 + D/r

Går tillbaka till u'(r)

u'(r) = (r^3)/4 + D/r

Integrerar båda led med avseende på r

u = (r^4)/16 + D*ln(r) + E

Tusen tack för hjälpen, är mina beräkningar/tankar korrekta? Ledsen att det blev långt

Det ser väl bra ut. Värt att notera är att du bara behöver en primitiv funktion i din integrerande faktor, eftersom du vill använda den genom produktregeln senare, så du kan bara låta $C=0$ för att underlätta allt direkt (och jag antar att $r>0$).

Jag antar att du menar $\left(ry\right)'_r$ när du skriver (ry)'r, får man fråga vad för kurs du går eller var? Jag ser ganska många som använder notationen med ett ' när man deriverar, själv tycker jag det är lika smidigt att skippa ' tecknet (och alltså bara skriva $u_r$ för $\dfrac{\partial u}{\partial r}$).

yetxerz skrev:

Behöver hjälp med denna:

(∂²u/∂r²) + (∂u/∂r)*(1/r) = r²

Vad jag har förstått så är det en ODE och svaret är 

r^4/16 + C*ln(r) + D

Men jag vet inte hur man kommer dit.

Tycker beteckningarna är lite konstiga. Att man använder partiella derivator tyder på att u är en funktion av flera variabler och då får man inte integrationskonstanter utan funktioner. Antag att u är en funktion av r ($r\ge 0$) och $\phi$. Då borde svaret bli $u(r,\phi ) = \frac{r^4}{16}+c\left(\phi \right)\ln \left(r\right)+d\left(\phi \right)$

Här är hela uppgiften:

Finn alla lösningar u(x,y) till den partiella differentialekvationen

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = x² + y²

som bara beror av r = √(x² + y²), dvs. är av formen u(x,y) = f(r).

Moffen skrev:

Det ser väl bra ut. Värt att notera är att du bara behöver en primitiv funktion i din integrerande faktor, eftersom du vill använda den genom produktregeln senare, så du kan bara låta $C=0$ för att underlätta allt direkt (och jag antar att $r>0$).

Tack!

Jag antar att du menar $\left(ry\right)'_r$ när du skriver (ry)'r

Korrekt

får man fråga vad för kurs du går eller var? Jag ser ganska många som använder notationen med ett ' när man deriverar

Mindre att skriva när man räknar  :-) SF1674

yetxerz skrev:

Jag antar att du menar $\left(ry\right)'_r$ när du skriver (ry)'r

Korrekt

får man fråga vad för kurs du går eller var? Jag ser ganska många som använder notationen med ett ' när man deriverar

Mindre att skriva när man räknar  :-) SF1674

Ok. Jag tänkte mer varför man föredrar att använda både ett ' tecken och nedsänkt, istället för bara nedsänkt (jämför $u'_r$ mot bara $u_r$). Men det är klart, är det det ni lärt er så är det väl det som fastnar antar jag.

Jag tycker Moffens skrivsätt utan att tydligt visa att det är en derivata är svårbegripligt - men det är väl för att jag inte har lärt mig att göra på det sättet. Jag vill inte säga att det är fel eller dåligt, men ... det stämmer inte med min matematiska intuition.