Oberoende och disjunkt

Jag håller med dig.

Det går inte att tänka sig något specialfall? Känns som en sätta dit-fråga

Du är helt rätt på det!

Om $A$ och $B$ är oberoende så gäller $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Om $A$ och $B$ är disjunkta så gäller $P(A\cap B)=0$.

Så om $A$ och $B$ är både oberoende och disjunkta så gäller $P(A)P(B)=0$. Detta ger att $P(A)=0$ eller $P(B)=0$, vilket motsäger antagandet om positiva sannolikheter.

Detta var alltså en sätta dit-fråga av andra graden - en som lurar dig att tro att det är något lurigt med den.

Knepigt!
En smula mer resonemangmässigt kan man kanske säga så här:

*  Om A och B är disjunkta, så kan de inte inträffa samtidigt. 

*  Om en av dem har inträffat, så vet vi därför att den andra inte har inträffat.

De är alltså i högsta grad beroende!

A och B oberoende
Om en av dem har inträffat, så ger oss det ingen ny information om den andra.
    P(B | A) = P(B)   och   P(A | B) = P(A) 

A och B disjunkta
Om en av dem har inträffat, så vet vi att den andra inte har inträffat.
   P(B) ≠ P(B | A) (som är lika med noll)   och    P(A) ≠ P(A | B) (som är lika med noll)

Då kan de inte vara oberoende.