Obegränsad talföljd med konvergent delmängd?
När jag läser om detta så hittar jag följande (Bolzano-Weierstrass sats):
- Varje följd i en begränsad mängd måste ha en konvergent delföljd
- För en obegränsad mängd så kan man visa att man kan hitta en följd som inte konvergerar
Min fråga är nu om en obegränsad mängd ändå kan ha en konvergent delföljd. Om det är så, finns det något tydligt exempel? Om det inte är så, kan någon förklara varför?
Vad händer till exempel om du skapar en följd av två följder så här
Följd 1: a1,a2,a3, ..., an
Följd 2: b1,b2,b3,...,bn
Ny följd: a1,b1,a2,b2,a3,b3,...,an,bn
Nu kan du återskapa Följd 1 genom att stryka vartannat element, du kan också återskapa Följd 2 genom att stryka vartannat element.
Jag har svårt att förstå den typen av generella förklaringar. Kan du ge ett konkret exempel?
D4NIELs exempel mer konkret:
Följd 1: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} som är obegränsad (divergent) och har ingen konvergent delföljd
Följd 2: {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ...} som konvergerar mot 0.
Dessa kombineras för att få
Ny följd: {1, 1, 2, 1/2, 3, 1/3, 4, 1/4, 5, 1/5, 6, 1/6, 7, 1/7, ...}
Denna nya följd är obegränsad, men den har en konvergent delföljd som fås genom att plocka fram vartannat element (d.v.s. Följd 2 är den konvergenta delföljden).
