Obduktion, aka induktion, n#1 (/av många)

Mitt ärligt men trött försök:

${(1 + x)}^{n} \geq 1 + n x f ö r a l l a x f ö r x \in ℕ$

1. Vi antar att det fungerar med 1

${(1 + x)}^{n} \geq 1 + n x f ö r 1 {(1 + x)}^{1} \geq 1 + 1 * x 1 + x = 1 + x V L = H L$

Verrry good.

2. Vi antar lite presomptuöst att det fungerar för n=k

${(1 + x)}^{k} \geq 1 + k x$

3. Och nu vi freestylar och antar att det går även för $n=k+1$

${(1 + x)}^{k + 1} \geq 1 + (k + 1) x V L : {(1 + x)}^{k + 1} = (1 + x) {(1 + x)}^{k} = {(1 + x)}^{k} + x {(1 + x)}^{k} H L : 1 + k x + x . . .$

Och?

1. Inte antar, du kontrollerar att det är sant för n = 1

2. Presumtivt :)

3. Inte freestyle, kontrollerar att det är sant för n = k+1 genom att använda det presumtiva antagandet

För VL efter första likhetstecknet, använd det presumtiva antagandet på andra parentesen istället för att utveckla första parentesen...

Haha eftersom jag vet ingenting, jag menade verkligen presomptuöst :)...

Så ok, du menar att när jag har $(1 + x) (1 + x)^{k}$ , kan jag statuera att... det är större än $1+kx$ ?

dajamanté skrev :
Så ok, du menar att när jag har $(1 + x) (1 + x)^{k}$ , kan jag statuera att... det är större än $1+kx$ ?

Nej, inte riktigt. I steg 2 konstaterade du att ${(1 + x)}^{k} \geq 1 + k x$ . Detta kan du nu använda, genom att sätta in 1 + kx och få $(1 + x) (1 + k x) \geq 1 + k (x + 1)$ . Detta fungerar eftersom det uttryck vi sätter in är mindre än eller lika med 1 + kx. Det ger oss två möjligheter:

1. ${(1 + x)}^{k} = 1 + k x$ : I sådant fall gör det ingen skillnad att vi substituerar den ena med den andra. De är lika stora och därmed likvärdiga.

2. $(1 + x)^{k} > 1 + k x$ : Här blir det krångligare, men fortfarande korrekt. Vi byter ut en del av vårt uttryck mot en mindre bit. Det kommer att förändra storleken på VL. Eftersom vi endast har positiva tal kommer VL definitivt att bli mindre. Men! Om vi ändå kan bevisa att VL ändå är större än eller lika med högerled gör det ingenting att vi minskat VL. Om vi kan bevisa att ett hus är större än snöhögen i korsningen, samt vet att Mount Everest är större än huset i fråga, kan vi direkt säga att Mount Everest är större än snöhögen.

Njaaa.... njooo..

Argh jag är ytterst förrvirrad, jag har försökt göra om det till

$(1 + x)^{k} ⩾ 1 + k x (1 + x) (1 + x)^{k} ⩾ 1 + k (x + 1) (1 + x) (1 + x)^{k} ⩾ 1 + k x + k k x^{2} + k x + x + 1 ⩾ 1 + k x + k$

Men då tänkte jag... måste vi bevisa att det stämmer för (x+1) eller för (k+1)??

Hemsk förrvirrad förtfarande!

Jag tänkte lyfta upp denna fråga också, men jag verkligen fattar inte induktion, jag kan kanske glömma det en stund.

Hej!

Steg 1. Du visar att olikheten är sann för ett visst heltal $n=1.$

Steg 2. Du antar att olikheten är sann för ett positivt heltal, $n.$ (Från Steg 1 vet du att det finns ett sådant heltal.)

Steg 3. Du visar att olikheten är sann för nästa heltal, $n+1.$

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är olikheten sann för alla positiva heltal.

Albiki

Hej Albiki,

Tack för att du försöker att få mig fatta :)

Ja... jag känner till proceduren. Men varför funkar det aldrig för mig... *suck*

Svara

Visa senaste svar