oändligt många hörn

Fem identiska cirklar är placerade så att de tangerar varandra och bildar en regelbunden femhörning då deras mittpunkter förbinds.

bild

a) Är det kortare att gå ett varv längs båglängderna inuti femhörningen eller längs femhörningens kanter? Bestäm förhållandet mellan dessa sträckor.

 
b) Vad blir förhållandet om man istället gör en motsvarande figur med 6 cirklar?

 
c) Vad blir förhållandet då antalet cirklar i figuren går mot oändligheten?

a) vinkeln mellan femhörningen i cirkeln kommer vara 540/5=108 grader

108/360=0,3 av cirkelns omkrets är i femhörningen.

Sträcka att gå 1 varv längs båglängderna är $5\times 0,3\times 2\mathrm{\pi r}$, om r är radien på en cirkel.

Sträcka att gå 1 varv längs femhörningens kanter är 10r.

Det ger förhållandet $\frac{10r}{5\times 0,3\times 2\mathrm{\pi r}}=\frac{1}{0,3\mathrm{\pi }}\approx 1,06$

Det är alltså kortast att gå längs båglängderna.

b) $\frac{12r}{4\mathrm{\pi r}}=\frac{3}{\mathrm{\pi }}$

c) jag tänker att vinkeln mellan månghörningen med oändligt många hörn i cirkeln kommer gå mot 180 grader. 

Då kommer halva cirkelns omkrets vara i "oändlighörningen" då antalet cirklar går mot $\infty$. Då blir förhållandet $\underset{a\to \infty }{\lim }\frac{a\times 2r}{a\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{r}}=\underset{a\to \infty }{\lim }\frac{a}{a}\times \frac{2r}{\mathrm{\pi r}}=\frac{2}{\mathrm{\pi }}$.

Är jag på rätt spår? Hur kan jag visa att vinkeln kommer gå mot 180 grader? Jag vet ju inte vinkelsumman men den lär ju gå mot oändligheten mycket snabbare än hörnen.

Tacksam för hjälp!