Oändlighet

Vilket tecken får du i täljaren, positivt eller negativt , när x närmar sig -1?

Vilket tecken får du i nämnaren, positivt eller negativt , när x närmar sig -1?

a) Ok, du kan också se det genom ett variabelbyte:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3}{{\left(x+1\right)}^3}=\left\{x+1=y\Rightarrow x=y-1,x\to -1\Rightarrow y\to 0\right\}= \\ \underset{y\to 0}{\lim }\frac{\left(y-1\right){\displaystyle {}^3}}{y^3}=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\left(-1\right){\displaystyle {}^3}}{y^3}=\cdots \end{gathered}$$

smaragdalena skrev :

Vilket tecken får du i täljaren, positivt eller negativt , när x närmar sig -1?

Vilket tecken får du i nämnaren, positivt eller negativt , när x närmar sig -1?

då x närmar sig -1 får vi -1^3=-1 dvs negativt i täljaren och 0 i nämnaren

tomast80 skrev :

a) Ok, du kan också se det genom ett variabelbyte:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3}{{\left(x+1\right)}^3}=\left\{x+1=y\Rightarrow x=y-1,x\to -1\Rightarrow y\to 0\right\}= \\ \underset{y\to 0}{\lim }\frac{\left(y-1\right){\displaystyle {}^3}}{y^3}=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\left(-1\right){\displaystyle {}^3}}{y^3}=\cdots \end{gathered}$$

okej jag är med på att vi får y^3 i nämnaren men borde vi inte få (y-1)^3 i täljaren? om vi har x=y-1

-1 i täljaren och noll i nämnaren ger oändligt gränsvärde, plus eller minus beroende på från vilket håll man kommer. 

Henrik Eriksson skrev :

-1 i täljaren och noll i nämnaren ger oändligt gränsvärde, plus eller minus beroende på från vilket håll man kommer. 

Ursäkta, såg nu att jag skrivit av fel. Det ska vara potens två i nämnaren, alltså:

$\underset{y\to 0}{\lim }\frac{{\left(y-1\right)}^3}{y^2}$

Spelar det då roll ifrån vilket håll man kommer?

Nej, svaret är att gränsvärde saknas.

Henrik Eriksson skrev :

Nej, svaret är att gränsvärde saknas.

Jag håller inte med!

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3}{{\left(x+1\right)}^2}=-\infty$

Då säger man att gränsvärde saknas.

Ibland kallar man det ett oegentligt gränsvärde.

Kanske uttrycker man det så på gymnasienivå, men när jag pluggat på högskolan stötte man ofta på gränsvärden som gick mot + eller - oändligheten. Det svar som då efterfrågades var inte "gränsvärde saknas".

Från Wikipedia: "Gränsvärden kan också anta oändliga värden (dessa kallas oftast oegentliga gränsvärden)."

Wolfram Alpha anser följande om gränsvärdet:

Man säger att ett uttryck går mot oändligheten, inte att det har gränsvärdet oändligheten. Kolla i din gamla mattebok!

Henrik Eriksson skrev :

Man säger att ett uttryck går mot oändligheten, inte att det har gränsvärdet oändligheten. Kolla i din gamla mattebok!

Jo, så kan man uttrycka det, men den egentliga frågan har du inte svarat på. Vad anser du är rätt svar på a) ?

Jag påstår att rätt svar är $-\infty$

Anser du att jag har fel eller inte?

Hej!

Uppgift a): Skriv täljaren som $(x+1-1)^3$ och använd Kuberingsregeln. 

Uppgift b): Skriv täljaren som $x^2 -1 + 1$ och använd Konjugatregeln på $(x^2-1).$ 

Albiki

Jag skulle svarat att uttrycket går mot minus oändligheten så gränsvärde saknas. Den omskrivning av täljaren som Albiki föreslår är onödig.

tomast80 skrev :

Henrik Eriksson skrev :

Man säger att ett uttryck går mot oändligheten, inte att det har gränsvärdet oändligheten. Kolla i din gamla mattebok!

Jo, så kan man uttrycka det, men den egentliga frågan har du inte svarat på. Vad anser du är rätt svar på a) ?

Jag påstår att rätt svar är $-\infty$

Anser du att jag har fel eller inte?

Det är vad man kallar i envariabelanalys ett "improper limit". Det vill säga; gränsvärdet existerar egentligen inte. Du använder begreppen $\infty$ och $-\infty$ för att beskriva funktionen runt punkten $x=c$. För att gränsvärdet ska existera måste, så vitt jag vet (inom vanlig calculus), gränsvärdet anta ett $t\in\mathbb{R}$.

Oegentliga gränsvärden får ej betraktas som gränsvärden i vanlig mening eftersom $\infty$ och $-\infty$ inte är tal. Detta är särskilt viktigt att påpeka i den inledande analyskursen, annars kommer ett antal studenter ofelbart försöka använda räknereglerna för gränsvärden även på oegentliga gränsvärden.  Det vet jag av erfarenhet :)

Vidare gör man klokt i att undvika lim-beteckningen i samband med oegentliga gränsvärden.