Oändliga serier, jämförelsekriterium II exempel

Hej, jag har svårt att förstå följande exempel på jämförelsekriterium II för oändliga serier

"Bestäm om $\sum_{k = 1}^{\infty} (2 \sin (1 / k) - \sin (2 / k)$ konvergerar"

De använder maclaurin på 2sin(1/k) och sin(2/k) och adderar dom ihop dom och får det till:

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}} + O (\frac{1}{k^{5}})$

Dom definierar detta till a_k, och definierar b_k till 1/(k^3) från kriteriet (dvs ${l i m}_{k \to \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}} \to A$ där a_k, b_k är större än noll och A är större än 0 (ej oändligheten). Så här långt har jag förstått allt, det är när de tar gränsvärdet av a_k / b_k som det blir förvirrande, för dom säger att det blir:

$\frac{\frac{1}{k^{3}} + O (\frac{1}{k^{5}})}{1 / k^{3}} \to 1$ , jag tänker att det blir $1 + k^{3} O (1 / k^{5})$ där O är en begränsad funktion kring 0, hur kan vi säga att O(0) kommer ge 0? För att jag antar att det är så dom resonerar, vi vet bara att ordo funktionen är en begränsad funktion inte mer?

Jag gissar att det är något med ordo jag strular med.

All hjälp uppskattas, tack!

Om du stoppar in k3 i ordot får du O(1/k2), som kan ses som en begränsad funktion gånger 1/k2. Så när k går mot oändligheten blir det något begränsat gånger 0, och påverkar inte gränsvärdet.

Micimacko skrev:
Om du stoppar in k3 i ordot får du O(1/k2), som kan ses som en begränsad funktion gånger 1/k2. Så när k går mot oändligheten blir det något begränsat gånger 0, och påverkar inte gränsvärdet.

Alright tack, jag undersökte ordo lite mer på egen hand och verkar förstå det bättra nu, tack!

Hej H. C.,

Notera att formeln $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ kan tillämpas här vilket ger differensen

$2\sin v - 2\sin v \cos v = 2\sin v \cdot (1-\cos v)$ .

Med $v$ nära noll blir därför

$2\sin v-2\sin v\cos v = 2\cdot (v+o(v^2)) \cdot (0.5v^2+o(v^3)) = v^3 + o(v^4)$

där $o(v^4)$ betecknar en funktion sådan att

$\lim_{v\to 0} \frac{o(v^4)}{v^4} = 0.$

Detta betyder att den givna serien kan skrivas

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3} + o(\frac{1}{k^4})$ .

Med litet handviftande kan man notera att termerna $\frac{1}{k^3}$ avtar snabbt och termerna $o(\frac{1}{k^4})$ avtar ännu snabbare, varför serien än konvergent.

Albiki skrev:
Hej H. C.,
Notera att formeln $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ kan tillämpas här vilket ger differensen
$2\sin v - 2\sin v \cos v = 2\sin v \cdot (1-\cos v)$ .
Med $v$ nära noll blir därför
$2\sin v-2\sin v\cos v = 2\cdot (v+o(v^2)) \cdot (0.5v^2+o(v^3)) = v^3 + o(v^4)$
där $o(v^4)$ betecknar en funktion sådan att
$\lim_{v\to 0} \frac{o(v^4)}{v^4} = 0.$
Detta betyder att den givna serien kan skrivas
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3} + o(\frac{1}{k^4})$ .
Med litet handviftande kan man notera att termerna $\frac{1}{k^3}$ avtar snabbt och termerna $o(\frac{1}{k^4})$ avtar ännu snabbare, varför serien än konvergent.

Hej Albiki, om $O (v^{4}) = B (v) \cdot v^{4}$ så är ju $\frac{O (v^{4})}{v^{4}} = B (v) \frac{v^{4}}{v^{4}} \to B (0)$ då $v \to 0$ ,är det något med ordo jag missar i ditt resonemang? B(0) är ju nödvändigtvis inte lika med 0?

Hej,

Du skriver om stora ordo O, medan jag skriver om lilla ordo o. Detta är två separata begrepp, så tro inte att det är sak samma om man skriver O eller o.

Stora ordo ger dig bara en begränsad ”sak”, medan lilla ordo ger dig 0.

Albiki skrev:
Hej,
Du skriver om stora ordo O, medan jag skriver om lilla ordo o.
Stora ordo ger dig bara en begränsad ”sak”, medan lilla ordo ger dig 0.

Aha! Då får jag nog ta reda på hur lilla ordo fungerar, tack!

Svara

Visa senaste svar