Oändliga gränser 1

Du måste ta hänsyn till att $x^2$ alltid är positivt (eller noll), och därför är värdet av $\sqrt{x^2}$ också aldrig negativt. Du kan fortfarande bryta ut x, men då får du använda ett absolutbelopp: 

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2\left(1+\frac{2}{x}\right)}-\sqrt{x^2\left(1-\frac{2}{x}\right)}\right)= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left|x\right|\sqrt{\left(1+\frac{2}{x}\right)}-\left|x\right|\sqrt{{}^2\left(1-\frac{2}{x}\right)}\right)= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|\left(\sqrt{\left(1+\frac{2}{x}\right)}-\sqrt{\left(1-\frac{2}{x}\right)}\right) \end{gathered}$$

Smutstvätt skrev:

Du måste ta hänsyn till att $x^2$ alltid är positivt (eller noll), och därför är värdet av $\sqrt{x^2}$ också aldrig negativt. Du kan fortfarande bryta ut x, men då får du använda ett absolutbelopp: 

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2\left(1+\frac{2}{x}\right)}-\sqrt{x^2\left(1-\frac{2}{x}\right)}\right)= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left|x\right|\sqrt{\left(1+\frac{2}{x}\right)}-\left|x\right|\sqrt{{}^2\left(1-\frac{2}{x}\right)}\right)= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|\left(\sqrt{\left(1+\frac{2}{x}\right)}-\sqrt{\left(1-\frac{2}{x}\right)}\right) \end{gathered}$$

Aha ok så det blir |x| ($\left|x\right| (\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - \sqrt{1- \frac{2}{x}})$vilket är  $li{m}_{x\to -\infty }\left|x\right| (\sqrt{1 } - \sqrt{1 }) = 0$

Men i facit står det att svaret blir -4/1+1 = -2

Dracaena skrev:

försök ge dina rubriker unika namn. Om det inte går, numrera de åtminstone. /Moderator

Tack det blev bättre. Kunde inte komma på en annan rubrik/namn:) 

Så får du inte göra. Alla $x$ måste gå mot -oändligheten samtidigt. 

Du kan dock förenkla |x| eftersom x är negativt.

Dracaena skrev:

Så får du inte göra. Alla $x$ måste gå mot -oändligheten samtidigt. 

Du kan dock förenkla |x| eftersom x är negativt.

Ok, men blir inte det som står inne i parentesen lika med noll alltså $(\sqrt{1+\frac{2}{x}}- \sqrt{1- \frac{2}{x}})$?? 

om parentesen blir noll så det spelar inget roll vad |x| är. 

Nej, du får då $-\infty \cdot 0$ vilket är odef.

Dracaena skrev:

Nej, du får då $-\infty \cdot 0$ vilket är odef.

Men i facit står det att gränsvärdet blir -2

Du måste jobbat med uttrycket mera.

Förläng med konjugatet av parentesen så trillar -2 ut direkt.

Varför?

Varför vadå? Berätta gärna mer specifikt vad det är som förvirrar dig 

När man har roten ur och massa skit så är det en bra idé att kika på om det blir bättre när man förläng med konjugatet. Detta eftersom vi då kan applicera konjugatreglen och bli av med alla roten ur vilket oftast är det som ställer till det. 

Om du menar varför du får fel svar, är det för att du har det uttryckt på ett sätt som ger odefinierat beteende. Vi måste skriva om det ännu mer innan vi kan forma en slutsats.

EDIT: Rättade språket en aning.

Vad är det som man ska försöka komma fram?? när vet man att man är klar? för att jag tyckte att det är klar efter  limx→−∞|x|($\sqrt{}$(1+2/x)−$\sqrt{}$(1−2/x) och nu kan man sätta lim x$\to -\infty$i stället för x i parentesen. 

Eftersom du får odef nör du gör det så är du inte klsr. I detta fallet är du klar när du får ut ett tal.

Varför det är fel har jag skrivit ovan. Ena talet rusar mot $- \infty$ och andra mot $0$ men detta sker inte lika snabbt. 

Dracaena skrev:

Varför vadå? Berätta gärna mer specifikt vad det är som förvirrar dig 

När man har roten ur och massa skit så är det en bra idé att kika på om det blir bättre med konsulatet, detta eftersom vi då kan applicera konjugatreglen och bli av med alla roten ur vilket oftast ställer till det. 

Om du menar varför du får fel svar är det för att du har det uttryckt på ett sätt som ger odefinierat beteende, vi måste skriva om det ännu mer.

Ok, så du menar för att det ena talet |x| går mot minus oändlighet och det som står i parentesen mot noll visar att man är inte klar än. 

Du resonerar lite oklart så jag ska försöka förklara hur du resonerar och varför det är fel:

Du har alltså

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right| (\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{1-\frac{2}{x}})$

Nu verkar det som att du resonerar

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{1-\frac{2}{x}})= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|\times \underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{1-\frac{2}{x}})= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|\times 0=0 \end{gathered}$$

Det är rimligt tänkt, det finns nämligen en regel som säger att:

$\underset{}{\lim } f\left(x\right)g\left(x\right) = \underset{}{\lim } f\left(x\right) \underset{}{\lim } g\left(x\right)$

om både lim f(x) och lim g(x) är reella tal. 

Problemet i det här fallet är att 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|=\infty$

inte är ett reellt tal. Så du kan inte dela upp gränsvärdet i två faktorer på det sätt som du gjort.

Ahaaa OK!

Smutsmunnen skrev:

Du resonerar lite oklart så jag ska försöka förklara hur du resonerar och varför det är fel:

Du har alltså

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right| (\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{1-\frac{2}{x}})$

Nu verkar det som att du resonerar

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{1-\frac{2}{x}})= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|\times \underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{1-\frac{2}{x}})= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|\times 0=0 \end{gathered}$$

Det är rimligt tänkt, det finns nämligen en regel som säger att:

$\underset{}{\lim } f\left(x\right)g\left(x\right) = \underset{}{\lim } f\left(x\right) \underset{}{\lim } g\left(x\right)$

om både lim f(x) och lim g(x) är reella tal. 

Problemet i det här fallet är att 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|=\infty$

inte är ett reellt tal. Så du kan inte dela upp gränsvärdet i två faktorer på det sätt som du gjort.

Precis så tänkte jag. Tack nu har jag förstått varför min lösning är fel. 

Dracaena skrev:

Eftersom du får odef nör du gör det så är du inte klsr. I detta fallet är du klar när du får ut ett tal.

Varför det är fel har jag skrivit ovan. Ena talet rusar mot $- \infty$ och andra mot $0$ men detta sker inte lika snabbt. 

Så i slutet ska alla x som finns i uttrycket rusa åt samma gräns när vi går mot -∞?? 

En sak till.

Jag har lite svårt att förstå $\sqrt{x^{2 }}= \left|x\right|$, att ett ruten ur tecken eller kvadraten av något tal kan skrivas som absolutbelopp.  För att jag hade alltid tänkt att en ruten täcken säger $\sqrt{9 } är som \sqrt{3\times 3} som i \sin tur är lika med 3$och $\sqrt{x^2} = \sqrt{x\times x } = x$eller $\sqrt{-x \times -x} = x$

I am Me skrev:

En sak till.

Jag har lite svårt att förstå $\sqrt{x^{2 }}= \left|x\right|$, att ett ruten ur tecken eller kvadraten av något tal kan skrivas som absolutbelopp.  För att jag hade alltid tänkt att en ruten täcken säger $\sqrt{9 } är som \sqrt{3\times 3} som i \sin tur är lika med 3$och $\sqrt{x^2} = \sqrt{x\times x } = x$eller $\sqrt{-x \times -x} = x$

Problemet är att $3=\sqrt{9}=\sqrt{3\times 3}=\sqrt{(-3)\times (-3)}$.

Så rot x^2 kan inte vara x, då skulle rot(9) vara både 3 och -3. 

Istället får man säga $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$

vilket stämmer för både positiva och negativa tal.

om $\sqrt{x^2}$ kan inte vara x så även $\sqrt{3^2}$ kan inte vara 3 

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x, x\ge 0\\ -x, x<0\end{array}\right.$

$\sqrt{x^2} = x$ om x > 0.

Dracaena skrev:

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x, x\ge 0\\ -x, x<0\end{array}\right.$

Yes det vet jag:)

Men @Smutsmunnen har skrivi "Så rot x^2 kan inte vara x"

I am Me skrev:

Dracaena skrev:

Eftersom du får odef nör du gör det så är du inte klsr. I detta fallet är du klar när du får ut ett tal.

Varför det är fel har jag skrivit ovan. Ena talet rusar mot $- \infty$ och andra mot $0$ men detta sker inte lika snabbt. 

Så i slutet ska alla x som finns i uttrycket rusa åt samma gräns när vi går mot -∞?? 

Tacksam om någon svarar på den här frågan. För att ofta när man vill få gränsvärdet av något så händer det att i slutet kan en del av uttrycket försummas och gå mot noll medans en annan del av uttrycket kan bli större och då tar man hänsyn till det som blir större när x går mot oändlighet eller något tal och ignorerar man det som blir mindre och mindre. 

I am Me skrev:

Dracaena skrev:

$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x, x\ge 0\\ -x, x<0\end{array}\right.$

Yes det vet jag:)

Men @Smutsmunnen har skrivi "Så rot x^2 kan inte vara x"

Med det menar jag att funktionen ”rot x^2” inte är identisk med funktionen ”x” inte att uttrycken aldrig är lika. Likheten rot x^2=x gäller för positiva x medan likheten rot x^2=|x| gäller för alla x.

I am Me skrev:

I am Me skrev:

Visa föregående citat

Dracaena skrev:

Eftersom du får odef nör du gör det så är du inte klsr. I detta fallet är du klar när du får ut ett tal.

Varför det är fel har jag skrivit ovan. Ena talet rusar mot $- \infty$ och andra mot $0$ men detta sker inte lika snabbt. 

Så i slutet ska alla x som finns i uttrycket rusa åt samma gräns när vi går mot -∞?? 

Tacksam om någon svarar på den här frågan. För att ofta när man vill få gränsvärdet av något så händer det att i slutet kan en del av uttrycket försummas och gå mot noll medans en annan del av uttrycket kan bli större och då tar man hänsyn till det som blir större när x går mot oändlighet eller något tal och ignorerar man det som blir mindre och mindre. 

Vad menar du med "alla x"? Överallt där det står x i uttrycket har x samma värde.