oändlig serie

Jag antar att du är bekant med den geometriska serien:

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\dfrac{1}{1-x}$      (där $|x|<1$)

Om vi nu sätter in $x=1/(2+\pi)^2$ får vi:

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(2+\pi)^{2n}}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{(2+\pi)^2}}$

Detta är ju i vänsterled nästan summan vi vill ha. Hur kan vi göra det så att det faktiskt blir den summa vi vill ha?

Aa juste. Grejen är ju att $n$ börjar från 5 och inte 0

Förslagsvis skriver man om den ursprungliga summan enligt nedan:

$\displaystyle (2+\pi)^{-10}\cdot \sum_{n=5}^{\infty}\frac{1}{(2+\pi)^{2(n-5)}}=...$

facit ger svaret:

$\frac{1}{{\left(2+\pi \right)}^8\left({\left(2+\pi \right)}^2-1\right)}$

vilket väl är samma som

$\frac{1}{-{\left(2+\pi \right)}^{10}}$ ?

ser inte logiken.

Du vill beräkna summan $\sum _{n=5}^{\infty }\frac{1}{{(2+\mathrm{\pi })}^{2\mathrm{n}}}$. Om det hade varit summan $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(2+\mathrm{\pi })}^{2\mathrm{n}}}$ så hade du kunnat beräkna den med hjälp av formeln som AlvinB skrev. Nu har du med lite för många termer i början, så du får ta "Alvins summa" minus $\sum _{n=0}^4\frac{1}{{(2+\mathrm{\pi })}^{2\mathrm{n}}}$ så får du den summa du ville ha.

Rambo skrev:

facit ger svaret:

$\frac{1}{{\left(2+\pi \right)}^8\left({\left(2+\pi \right)}^2-1\right)}$

vilket väl är samma som

$\frac{1}{-{\left(2+\pi \right)}^{10}}$ ?

ser inte logiken.

Det svar som facit skriver och det som du har skrivit här är inte ekvivalenta.