Numeriska metoder: Newtons metod för diffsystem

Den fråga jag fastnat på (hahahahaha det är långt ifrån den enda... ): ) är denna:

Först ska man skriva ett program som beräknar y(h), y(2h), ... , y(10) för följande diffekvationssystem:

$y\text{'}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& \alpha \end{array}\right]·y\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$, $y\left(0\right)=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$.

(y(t) består av y₁(t) och y₂(t).)

Detta har jag gjort, och det är lugnt. Därefter ska man skriva ett program som för ett visst h och ett visst alpha tar beräknar integralen av kurvan av y, från noll till tio. Även detta har jag gjort. Nu till själva frågan jag sitter fast på:

Anpassa Newtons metod i flera variabler så att metoden beräknar ett alpha-värde och ett t-värde så att $y_1\left(t\right)=0$ och $y_2\left(t\right)=1$. En sådan lösning finns nära t = 10, alpha = -2. 


Mina tankar kring problemet: Som startgissning sätter jag [10; -2].

Newtons metod i flera variabler: 

$$\begin{gathered} \mathrm{while} h > \left[\mathrm{tröskelvärde}\right] \\ h = J(x{)}^{-1}·f(x) \\ x = x-h \end{gathered}$$

Jag måste alltså hitta f och J. Här stöter jag på problem, hur hittar jag f och J? En fundering var att Jacobianen kanske kunde vara y'(t), eftersom vi letar efter lutningen i en viss punkt? Samtidigt låter detta konstigt eftersom vi har två variabler vi ska leta efter, både t och alpha. Vad är då f? Ska jag kombinera detta med exempelvis Euler framåt för att få f, typ $f\left(x\right)=y_{n+1}=y_n+y_n\text{'}·h$? 

Mer rimligt skulle det i sådant fall kännas om jag sätter att f(x) i NM är y(t), men då kan jag inte derivera med avseende på alpha, och därmed inte hitta någon Jacobian. Med andra ord: 

Stort tack för all hjälp! :)