Numeriska metoder: Inskjutningsmetoden kombinerat med sekantmetoden

Frågan lyder:

Vi vill lösa randvärdesproblemet $y'' (x) = f (y, x)$ med $y (0) = 0$ och $y (1) = 1.4$ . Vi vill använda inskjutningsmetoden (shooting method) kombinerat med sekantmetoden. För att programmera detta behöver vi en metod som beräknar $y (1)$ givet $y' (0)$ . Antag att denna metod finns tillgänglig i ett program $u = m e t h o d (z)$ som i matlab ger resultaten:

$> > m e t h o d (0) 1.1000 > > m e t h o d (1) 1.2000 > > m e t h o d (2) 1.3000 > > m e t h o d (3) 1.5000$

Vad blir inskjutningsmetoden med startvärden 2 och 3?

Jag vet att svaret kommer att vara $2 + \frac{1}{2}$ men vad menas ens med "inskjutningsmetoden med startvärden" här? Jag tänkte att de kanske menade sekantmetoden med

$x_{1} = 2, F (x_{1}) = 1.3 x_{2} = 3, F (x_{2}) = 1.5$

Men om vi sätter in detta i formeln för sekantmetoden
Så får vi $3 - \frac{3 - 2}{1.5 - 1.3} \cdot 1.5 \neq 2 + \frac{1}{2}$ ,

Känner mig alltså rätt lost över vad de menar att man ska räkna ut här? =/

Jag kan ärligt säga att jag inte hört talas om inskjutningsmetoden förut, men om jag förstår det rätt så gissar man bara i den "metoden?" lite på måfå för att hitta rätt värden?

Hursomhelst, om det är sekantmetoden man använder sig av så måste du tänka på att det är en metod för att hitta nollställen till funktionen, nu ska du hitta när den är 1.4, så då måste man formulera om själva funktionen. Så om $f(x)$ är den funktion du försöker få till 1.4 så ska du låta $g(x) = f(x) - 1.4$ och nu kan du använda sekantmetoden på $g$ .

Så då får man att nästa gissningsformeln ser ut som

$x_{n + 1} = x_n - \frac{x_n - x_{n - 1}}{g(x_n) - g(x_{n - 1})}g(x_n) = x_n - \frac{x_n - x_{n - 1}}{f(x_n) - f(x_{n - 1})}(f(x_n) - 1.4)$

Så i ditt fall blir det alltså

$3 - \frac{3 - 2}{1.5 - 1.3}\cdot (1.5 - 1.4) = 2 + \frac{1}{2}$

Så det kanske är sekantmetoden dom syftar på.

Hmm, undrar om du missat någonting i formlerna ? Oavsett tror jag att du har rätt.

Om vi skriver $G (x) = F (x) - 1.4$ så får vi
$x_{3} = x_{2} - \frac{x_{2} - x_{1}}{G (x_{2}) - G (x_{1})} G (x_{2}) = 3 - \frac{3 - 2}{0.1 - (- 0.1)} \cdot 0.1 = 3 - \frac{0.1}{0.2} = 2 + \frac{1}{2}$

Vilket verkar stämma så tack för hjälpen! :D

Om det är nere i nämnaren som du tänker att jag missade något så var jag bara lite lat och skrev inte ut alla steg. Utan det blir

$g(x_n) - g(x_{n - 1}) = f(x_n) - 1.4 - (f(x_{n - 1}) - 1.4)$

$= f(x_n) - 1.4 - f(x_{n - 1}) + 1.4 = f(x_n) - f(x_{n - 1})$

Bortsett från detta så tror jag inte jag missade något.

Svara

Visa senaste svar