Numerisk derivering

Numerisk derivering är något som man tar till när man inte kan derivera funktionen, dvs få ut f'(x). Då kan man förhoppningsvis i alla fall få fram ett värde på derivatan i en punkt, detta är förhoppningsvis det som man behöver. 

Då sätter man upp differenskvoten och söker gränsvärdet när h->0. I det fall du tar upp ovan blir det alltså$\underset{h->0}{\lim }\frac{5^{1+h}-5^1}{h}$. Om du kan hitta detta gränsvärde hittar du även derivatan i punkten x=1 för funktionen $f\left(x\right)=5^x$

AndersW skrev :

Numerisk derivering är något som man tar till när man inte kan derivera funktionen, dvs få ut f'(x). Då kan man förhoppningsvis i alla fall få fram ett värde på derivatan i en punkt, detta är förhoppningsvis det som man behöver. 

Då sätter man upp differenskvoten och söker gränsvärdet när h->0. I det fall du tar upp ovan blir det alltså$\underset{h->0}{\lim }\frac{5^{1+h}-5^1}{h}$. Om du kan hitta detta gränsvärde hittar du även derivatan i punkten x=1 för funktionen $f\left(x\right)=5^x$

Hade en sån fundering men vågade inte riktigt chansa på det. Ja, så kan man göra, Tack. Frågan är bara hur man löser den, det ser väldigt krångligt ut. Jag gör ett försök och kommenterar om jag fastnar.

AndersW skrev :

Numerisk derivering är något som man tar till när man inte kan derivera funktionen, dvs få ut f'(x). Då kan man förhoppningsvis i alla fall få fram ett värde på derivatan i en punkt, detta är förhoppningsvis det som man behöver. 

Då sätter man upp differenskvoten och söker gränsvärdet när h->0. I det fall du tar upp ovan blir det alltså$\underset{h->0}{\lim }\frac{5^{1+h}-5^1}{h}$. Om du kan hitta detta gränsvärde hittar du även derivatan i punkten x=1 för funktionen $f\left(x\right)=5^x$

Vet ej hur jag ska hitta gränsvärdet, kan du visa tack.  Har försökt att faktorisera och förlänga/förkorta, kommer ingenvart.

Hej

Du kan göra på följande sätt:

 $$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^x·5^h-5^x}{h}\Rightarrow \underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^x\left(5^h-1\right)}{h}\Rightarrow 5^x·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(5^h-1)}{h} \\ k=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle (5^h-1)}}{{\displaystyle h}}\Rightarrow 5^x·k \end{gathered}$$

Vad får $k$ för värde när $h\to 0$? 

Det enda du behöver gör är att välja ett litet h, exempelvis $h = 0.01$ så får man

$\frac{5^{1+0.01}-5}{0.01}\approx 8.1123$

väljer man ett lite mindre h, exempelvis $h = 0.001$ så får man

$\frac{5^{1+0.001}-5}{0.001}\approx 8.0536$

Fortsätt välja ett mindre och mindre h tills det verkar vara så att du har tre korrekta värdesiffror.

Stokastisk skrev :

Det enda du behöver gör är att välja ett litet h, exempelvis $h = 0.01$ så får man

$\frac{5^{1+0.01}-5}{0.01}\approx 8.1123$

väljer man ett lite mindre h, exempelvis $h = 0.001$ så får man

$\frac{5^{1+0.001}-5}{0.001}\approx 8.0536$

Fortsätt välja ett mindre och mindre h tills det verkar vara så att du har tre korrekta värdesiffror.

Vad menar Anders och Jonis då? egentligen?

jonis10 skrev :

Hej

Du kan göra på följande sätt:

 $$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^x·5^h-5^x}{h}\Rightarrow \underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^x\left(5^h-1\right)}{h}\Rightarrow 5^x·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(5^h-1)}{h} \\ k=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle (5^h-1)}}{{\displaystyle h}}\Rightarrow 5^x·k \end{gathered}$$

Vad får $k$ för värde när $h\to 0$? 

Hej, eftersom det är h i nämnaren så är det ej definerat antar jag ? elelr? 

Stokastisk skrev :

Det enda du behöver gör är att välja ett litet h, exempelvis $h = 0.01$ så får man

$\frac{5^{1+0.01}-5}{0.01}\approx 8.1123$

väljer man ett lite mindre h, exempelvis $h = 0.001$ så får man

$\frac{5^{1+0.001}-5}{0.001}\approx 8.0536$

Fortsätt välja ett mindre och mindre h tills det verkar vara så att du har tre korrekta värdesiffror.

Anledningen till att vi tar en sådan liten "förskjutning" av x är för att intervallet för sekanten ska bli så liten som möjligt för att vi ska komma så nära lutningen då x = 1 som möjligt ellerhur? 

MattePapput skrev :

Anledningen till att vi tar en sådan liten "förskjutning" av x är för att intervallet för sekanten ska bli så liten som möjligt för att vi ska komma så nära lutningen då x = 1 som möjligt ellerhur? 

Japp det är korrekt.

Stokastisk skrev :

Japp det är korrekt.

Tack, skulle du kunna förklara detta för mig lite bättre. Jag börjar få bra grepp om det, riktigt bra grepp men det är ändå lite förvirrande. 
Alltså det man gör ser ju precis ut som när man tar fram lutningen för en rät linje..  $\frac{{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\mathit{k}$
Man tar $\frac{\mathbf{∆}\mathbf{y}}{\mathbf{∆}\mathbf{x}}$
  Först så har dom punkten (a,f(a)) och sedan ((a+h),f(a+h))
$$\begin{gathered} {\mathit{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{h}\mathbf{)} \\ {\mathit{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{a}\mathbf{\right)} \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{h} \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathit{a} \\ \frac{\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{h}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{f}\mathbf{\left(}\mathbf{a}\mathbf{\right)}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{h}\mathbf{-}\mathbf{a}} \end{gathered}$$   

På en rät linje så fungerar vilka två punkter som helst för att få fram lutningen i alla punkter. Men här så måste vi låte avståndet mellan punkt 2 och punkt 1 gå mot 0 då får vi lutningen av den blåa tangenten i detta fallet.  Men om man sätter x då får man det för alla fallen.  Eller? 

Och, varför får man egentligen "lutningen" om man tar dy/dx ? Hur ska man tänka där, "hur många förändringar i x led får plats i förändringar i y led? 

Just det! Derivatan är lutningen till kurvan i punkten x. Därför är derivatans definition inget annat än en beräkning av riktningskoefficienten k. Sedan måste vi ta till gränsvärdet då x1 och x2 är lika och nämnaren blir noll.

Och ja, det är så man tänker med k. För varje förändring i x kommer y att förändras k*x

AndersW skrev :

Just det! Derivatan är lutningen till kurvan i punkten x. Därför är derivatans definition inget annat än en beräkning av riktningskoefficienten k. Sedan måste vi ta till gränsvärdet då x1 och x2 är lika och nämnaren blir noll.

Och ja, det är så man tänker med k. För varje förändring i x kommer y att förändras k*x

Är inte med på hur $\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}$ ger en lutning alltså rent algebraiskt. Vad är det man gör egentligen, vad händer, hur ska man tänka?