Numerisk beräkning av sannolikheten för stjärnfall

Antag att ett slumpexperiment består i att centrera ett kikarsikte mot en slumpvis vald stjärna. Låt An; n = 1, 2, ... beteckna händelsen att man i kikarsiktet ser exakt n stjärnor. Antag att P(An) = 6/(π^2*n^2). Antag vidare att stjärnfall sker oberoende för olika stjärnor och att sannolikheten att en given stjärna har ett stjärnfall under en timme är 10^-6.

a) Beräkna numeriskt sannolikheten att se något stjärnfall om man riktar in kikaren mot en stjärna och sen tittar i en timme i kikarsikte.

b) Beräkna numeriskt sannolikheten att bara se en stjärna, och beräkna sannolikheten för denna händelse givet att man sett ett stjärnfall.

Behöver avsevärd hjälp med denna då jag inte ens vet var jag ska börja.

Tack på förhand.

På

a) Vad är sannolikheten att du ser något stjärnfall om du ser exakt en stjärna? Exakt två stjärnor? Exakt tre stjärnor? Exakt ..... osv

Stokastisk skrev :
På
a) Vad är sannolikheten att du ser något stjärnfall om du ser exakt en stjärna? Exakt två stjärnor? Exakt tre stjärnor? Exakt ..... osv

Så de vill alltså egentligen veta:

Unionen av ("Stjärnfall" | An)?

Då vet jag. Tack.

Den här uppgiften hör väl också hemma på listan över mest ofysikaliska matteuppgifter!

smaragdalena skrev :
Den här uppgiften hör väl också hemma på listan över mest ofysikaliska matteuppgifter!

Instämmer, typisk uppgift där dom bara försökt få det att låta verklighetsförankrat men misslyckas, vilket bara leder till att det blir svårt att fatta vad dom menar egentligen.

MOOO skrev :
Stokastisk skrev :
På
a) Vad är sannolikheten att du ser något stjärnfall om du ser exakt en stjärna? Exakt två stjärnor? Exakt tre stjärnor? Exakt ..... osv
Så de vill alltså egentligen veta:
Unionen av ("Stjärnfall" | An)?
Då vet jag. Tack.

Är du med på hur man kan beräkna b) uppgiften också?

Stokastisk skrev :
MOOO skrev :
Stokastisk skrev :
På
a) Vad är sannolikheten att du ser något stjärnfall om du ser exakt en stjärna? Exakt två stjärnor? Exakt tre stjärnor? Exakt ..... osv
Så de vill alltså egentligen veta:
Unionen av ("Stjärnfall" | An)?
Då vet jag. Tack.
Är du med på hur man kan beräkna b) uppgiften också?

Vi ska först beräkna P(A1) och sen P(A1|"Stjärnfall") men givet oberoende borde väl detta endast vara lika med P(A1)?

MOOO skrev :
Vi ska först beräkna P(A1) och sen P(A1|"Stjärnfall") men givet oberoende borde väl detta endast vara lika med P(A1)?

Nej det stämmer inte att P(A1 | "Stjärnfall") = P(A1), att du ser ett stjärnfall och antalet stjärnor du ser är inte oberoende av varandra.

Stokastisk skrev :
MOOO skrev :
Vi ska först beräkna P(A1) och sen P(A1|"Stjärnfall") men givet oberoende borde väl detta endast vara lika med P(A1)?
Nej det stämmer inte att P(A1 | "Stjärnfall") = P(A1), att du ser ett stjärnfall och antalet stjärnor du ser är inte oberoende av varandra.

Nu har jag helt plötsligt förvirrat mig själv helt...även på a).

Kan du beräkna

P("Stjärnfall" | Antalet stjärnor = 1)

P("Stjärnfall" | Antalet stjärnor = 2)

osv?

Stokastisk skrev :
Kan du beräkna
P("Stjärnfall" | Antalet stjärnor = 1)
P("Stjärnfall" | Antalet stjärnor = 2)
osv?

Jag känner mig så extremt dum just nu men kan inte tänka mig hur jag ska beräkna de uttrycken du har skrivit...:(

Jag vill säga P("Stjärnfall" | Antalet stjärnor = n) = P("Stjärnfall")*P(Antalet stjärnor = n) men kan inte förklara varför jag tänker så...det känns mer som att jag beräknar P("Stjärnfall" & Antalet stjärnor = n)...

Om vi vet att det är n stycken stjärnor så har vi på grund av oberoende att sannolikheten att ingen stjärna faller under en timme är

$(1 - 10^{-6})^n$

Så sannolikheten att åtminstone en stjärna faller är

$1 - (1 - 10^{-6})^n$

Därför får man nu att sannolikheten att man observerar en stjärna falla till

$P (" S t j ä r n f a l l ") = \sum_{n = 1}^{\infty} P (" S t j ä r n f a l l " | A n t a l e t s t j ä r n o r = n) P (A n t a l e t s t j ä r n o r = n)$

Stokastisk skrev :
Om vi vet att det är n stycken stjärnor så har vi på grund av oberoende att sannolikheten att ingen stjärna faller under en timme är
$(1 - 10^{-6})^n$
Så sannolikheten att åtminstone en stjärna faller är
$1 - (1 - 10^{-6})^n$
Därför får man nu att sannolikheten att man observerar en stjärna falla till
$P (" S t j ä r n f a l l ") = \sum_{n = 1}^{\infty} P (" S t j ä r n f a l l " | A n t a l e t s t j ä r n o r = n) P (A n t a l e t s t j ä r n o r = n)$

Så om jag har förstått det rätt nu så är det: $P (" S t j ä r n f a l l ") = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - (1 - 10^{- 6})^{n}) * P (A n t a l e t s t j ä r n o r = n)$ som ska beräknas?

Ja, det stämmer och tänk på att

$P (A n t a l e t s t j ä r n o r = n) = \frac{6}{π^{2} n^{2}}$

Svara

Visa senaste svar