Numerisk beräkning av egenvärden - Linjär Algebra (KG. Andersson) (fråga nr. 2)

Läs denna artikel under definition:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

Jag vet inte vad egenvärden eller egenvektorer skulle vara bra för.

Tillägg: 17 dec 2021 16:19

Kanske att du kan uttrycka en matris i termer av egenvärden för att beräkna potensen. Jag vet inte om det gör saken enklare.

@Ebola: Det är väl absolut enklare? Den matris som kan skrivas som $\mathrm{A}={\mathrm{PDP}}^{-1}$ är mycket enkel att beräkna potenserna av: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^k={\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)}^k=\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)·...·\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)= \\ {\mathrm{PDP}}^{-1}{\mathrm{PDP}}^{-1}·...·{\mathrm{PDP}}^{-1}=\mathrm{PD}\left(P^{-1}P\right)D(P^{-1}·...·P){\mathrm{DP}}^{-1}={\mathrm{PD}}^k{\mathrm{P}}^{-1} \end{gathered}$$

Det är helt klart värt att försöka. 

Smutstvätt skrev:

@Ebola: Det är väl absolut enklare? Den matris som kan skrivas som $\mathrm{A}={\mathrm{PDP}}^{-1}$ är mycket enkel att beräkna potenserna av: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^k={\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)}^k=\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)·...·\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)= \\ {\mathrm{PDP}}^{-1}{\mathrm{PDP}}^{-1}·...·{\mathrm{PDP}}^{-1}=\mathrm{PD}\left(P^{-1}P\right)D(P^{-1}·...·P){\mathrm{DP}}^{-1}={\mathrm{PD}}^k{\mathrm{P}}^{-1} \end{gathered}$$

Det är helt klart värt att försöka. 

Jag får inte rätt på det då "P-1" blir komplicerad då egenvärdena inte är heltal, om du har möjlighet så ge gärna ett lösningsförslag. Tack.

Ebola skrev:

Läs denna artikel under definition:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

Jag vet inte vad egenvärden eller egenvektorer skulle vara bra för.

---

Tillägg: 17 dec 2021 16:19

Kanske att du kan uttrycka en matris i termer av egenvärden för att beräkna potensen. Jag vet inte om det gör saken enklare.

Uppgiften ligger i kapitlet om egenvärden och egenvektorer, så det är därför min tanke gick till den metoden, jag har läst delar av artikeln men kan inte riktigt applicera det på min uppgift, , om du har möjlighet så ge gärna ett lösningsförslag. Tack.

w0mbat skrev:

Smutstvätt skrev:

@Ebola: Det är väl absolut enklare? Den matris som kan skrivas som $\mathrm{A}={\mathrm{PDP}}^{-1}$ är mycket enkel att beräkna potenserna av: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^k={\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)}^k=\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)·...·\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)= \\ {\mathrm{PDP}}^{-1}{\mathrm{PDP}}^{-1}·...·{\mathrm{PDP}}^{-1}=\mathrm{PD}\left(P^{-1}P\right)D(P^{-1}·...·P){\mathrm{DP}}^{-1}={\mathrm{PD}}^k{\mathrm{P}}^{-1} \end{gathered}$$

Det är helt klart värt att försöka. 

Jag får inte rätt på det då "P-1" blir komplicerad då egenvärdena inte är heltal, om du har möjlighet så ge gärna ett lösningsförslag. Tack.

Det gör inget. Vilket P, D och P^-1 har du hittat? :)

Smutstvätt skrev:

w0mbat skrev:

Visa föregående citat

Smutstvätt skrev:

@Ebola: Det är väl absolut enklare? Den matris som kan skrivas som $\mathrm{A}={\mathrm{PDP}}^{-1}$ är mycket enkel att beräkna potenserna av: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}^k={\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)}^k=\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)·...·\left({\mathrm{PDP}}^{-1}\right)= \\ {\mathrm{PDP}}^{-1}{\mathrm{PDP}}^{-1}·...·{\mathrm{PDP}}^{-1}=\mathrm{PD}\left(P^{-1}P\right)D(P^{-1}·...·P){\mathrm{DP}}^{-1}={\mathrm{PD}}^k{\mathrm{P}}^{-1} \end{gathered}$$

Det är helt klart värt att försöka. 

Jag får inte rätt på det då "P-1" blir komplicerad då egenvärdena inte är heltal, om du har möjlighet så ge gärna ett lösningsförslag. Tack.

Det gör inget. Vilket P, D och P^-1 har du hittat? :)

Egenvärdena jag fått fram är $\frac{5\pm \sqrt{153}}{2}$, alltså är D=$\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$likt ett exempel i boken så kallar jag dem bara för lambda1 och lambda2 när jag skriver ut dem som egenvektorer då det blir lite krångligt annars, då får jag P till $\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\lambda }_2\\ 1& 1\end{array}\right]$

och inversen till denna blir väldigt komplicerat, i alla fall så som jag skrivit den, känns inte rätt helt enkelt.

Om du är osäker på om du beräknat en korrekt invers kan du alltid kontrollera det genom att multiplicera med ursprungliga matrisen.

(Ursäkta det sena svaret)

Hmmm, hur får du fram dina egenvärden? Jag får egenvärdena till 1 och 4: 

$\left[\begin{array}{cc}7& -6\\ 3& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right]$

Det skulle innebära att $A^k$ är lika med: 

$$\begin{gathered} A^k={\left[\begin{array}{cc}7& -6\\ 3& -2\end{array}\right]}^k={\left(\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right]\right)}^k= \\ \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4^k\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2·4^k\\ 1& 4^k\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right]= \\ \left[\begin{array}{cc}2·4^k-1& 2-2·4^k\\ 4^k-1& 2-4^k\end{array}\right] \end{gathered}$$

om jag inte slarvat någonstans. 😅