Numerisk analys: relativt fel nära 0

coffeshot skrev:

Hej!

Jag har blivit ombedd att lösa en uppgift med minst 6 säkra gällande (värde-) siffror. Detta kräver ett relativfel under $5\cdot 10^{-6}$. Denna uppgift handlar om att approximera en differentialekvation med numerisk analys (i mitt fall Runge-Kutta 4). Uppgiften behöver kombineras med interpolation kring då lösningarna korsar $y=0$, där avsikten är att bestämma vilken tidpunkt som man korsar $y=0$ med den angivna säkerheten.

Jag tror inte jag behöver nämna mer detaljer än så, eftersom frågan jag har är angående den relativa felberäkningen i detta fall. Eftersom relativt fel definieras som $\frac{\text{Absolut fel}}{\text{``sanna`` värdet}}$ där det sanna värdet (i mitt fall) är den hittills bäst kända approximationen, har jag problem med att få till ett snyggt relativt fel eftersom jag interpolerar nära nollpunkten.

Det absoluta felet för en interpolation definieras som $|p_{n+1}(a)-p_{n}(a)|$ där $a$ är punkten där svaret beräknas i och $p_n$ är ett anpassat polynom av grad $n$.

Jag är intresserad över hur interpolationen jag gör nära $y=0$ påverkar de efterfrågade värdesiffrorna, men jag vet inte hur jag ska beräkna det relativa felet.

För att hitta vilken punkt interpolationspolynomen är lika med 0, använder jag sekantmetoden.

När jag sätter in punkten jag fått fram från sekantmetoden i interpolationspolynomen, får jag följande svar:

Grad 3 ger y=-1.040834085586084e-17

Grad 4 ger y=3.864313383172835e-15

Detta ger ett absolut fel på: $3.9\cdot 10^{-15}$ (ish)

Men det relativa felet blir ju avsevärt mycket större om man beräknar det som jag angivit ovan, eftersom båda dessa värden ligger väldigt nära $0$.

Är det inte relevant att använda relativt fel här? Eftersom den efterfrågade säkerheten är knuten till relativt fel, tänker jag att det liksom är det jag måste använda. Jag vet inte riktigt vad jag ska göra istället.

Tacksam för input och svar!

"Det sanna värdet" är väl x-värdet när y = 0, eller tänker jag helt fel?

Smaragdalena skrev:

coffeshot skrev:

Hej!

Jag har blivit ombedd att lösa en uppgift med minst 6 säkra gällande (värde-) siffror. Detta kräver ett relativfel under $5\cdot 10^{-6}$. Denna uppgift handlar om att approximera en differentialekvation med numerisk analys (i mitt fall Runge-Kutta 4). Uppgiften behöver kombineras med interpolation kring då lösningarna korsar $y=0$, där avsikten är att bestämma vilken tidpunkt som man korsar $y=0$ med den angivna säkerheten.

Jag tror inte jag behöver nämna mer detaljer än så, eftersom frågan jag har är angående den relativa felberäkningen i detta fall. Eftersom relativt fel definieras som $\frac{\text{Absolut fel}}{\text{``sanna`` värdet}}$ där det sanna värdet (i mitt fall) är den hittills bäst kända approximationen, har jag problem med att få till ett snyggt relativt fel eftersom jag interpolerar nära nollpunkten.

Det absoluta felet för en interpolation definieras som $|p_{n+1}(a)-p_{n}(a)|$ där $a$ är punkten där svaret beräknas i och $p_n$ är ett anpassat polynom av grad $n$.

Jag är intresserad över hur interpolationen jag gör nära $y=0$ påverkar de efterfrågade värdesiffrorna, men jag vet inte hur jag ska beräkna det relativa felet.

För att hitta vilken punkt interpolationspolynomen är lika med 0, använder jag sekantmetoden.

När jag sätter in punkten jag fått fram från sekantmetoden i interpolationspolynomen, får jag följande svar:

Grad 3 ger y=-1.040834085586084e-17

Grad 4 ger y=3.864313383172835e-15

Detta ger ett absolut fel på: $3.9\cdot 10^{-15}$ (ish)

Men det relativa felet blir ju avsevärt mycket större om man beräknar det som jag angivit ovan, eftersom båda dessa värden ligger väldigt nära $0$.

Är det inte relevant att använda relativt fel här? Eftersom den efterfrågade säkerheten är knuten till relativt fel, tänker jag att det liksom är det jag måste använda. Jag vet inte riktigt vad jag ska göra istället.

Tacksam för input och svar!

"Det sanna värdet" är väl x-värdet när y = 0, eller tänker jag helt fel?

Njao, det är inte så relativt fel är definierat som jag förstått det. Jag ber om ursäkt om jag uttryckt mig i lite oklara termer.

Första Googleträffen på "relative error" kanske uttrycker det i lite bättre termer!
RE = absolute error / measurement being taken

Det jag vill är att mina polynom $p_{n+1}(a)$ ska ge ut $0$, så det sanna värdet borde ju vara $0$, tänker jag? De ger också ut värden nära $0$ och ibland är datorn med mig och ger en perfekt nolla.

Är uppgiften att ta reda på vilet x-värde som ger y-värdet 0, eller har jag missförstått?

Smaragdalena skrev:

Är uppgiften att ta reda på vilet x-värde som ger y-värdet 0, eller har jag missförstått?

Nej, den punkten stämmer!

Du söker det t-värde som ger y = 0 (eller kanske flera t-värden).

Ditt mätvärde är alltså i t. 

Dr. G skrev:

Du söker det t-värde som ger y = 0 (eller kanske flera t-värden).

Ditt mätvärde är alltså i t. 

Jaha, är det bara så enkelt?(!!) Jag har inte räknat så tidigare men då har jag väl bara räknat fel :)

Jag har dividerat med det värde som mitt bästa polynom ger ut tidigare när jag har varit intresserad av vad felet som interpolation ger upphov till i en viss punkt.