NP minsta värde absolutbelopp

Jag skulle lösa uppgiften grafiskt.

Markera det komplexa talet $z_1=3i$ i det komplexa talplanet.

Utgå från det talet och se vilka andra komplexa tal du kan nå om du till $z_1$ adderar $z_2$.

Tänk vektoraddition. Du vet längden men inte riktningen på $z_2$.

z1=3i
z2=a+bi

z1+z2=3i+a+bi=a+(3+b)i

|z2|=$\sqrt{a^2+b^2}$=7
$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2=7^2 \\ {a}^2+b^2=49 \end{gathered}$$

$a^2+b^2=49$ är en cirkel med radien 7. Detta medför att $-7\ge a,b\ge 7$ .

|z1+z2|=|a+(3+b)i|=$\sqrt{a^2+{(3+b)}^2}$

$$\begin{gathered} \sqrt{a^2+{(3+b)}^2}=\sqrt{a^2+b^2+6b+9}=\sqrt{49+6b+9}=\sqrt{58+6b} \\ \left|z1+z2\right|=\sqrt{58+6b} ,men -7\le b\le 7 \\ b=-7 ger minsta värde \\ \left|z1+z2\right|=\sqrt{58+6*-7}=\sqrt{16}=4 \end{gathered}$$

Yngve skrev:

Jag skulle lösa uppgiften grafiskt.

Markera det komplexa talet $z_1=3i$ i det komplexa talplanet.

Utgå från det talet och se vilka andra komplexa tal du kan nå om du till $z_1$ adderar $z_2$.

Tänk vektoraddition. Du vet längden men inte riktningen på $z_2$.

Har du något enkelt sätt att lösa det geometriskt? Jag gjorde en ytterligare geometrisk lösning, men den blev rätt invecklad. 

oneplusone2 skrev:

z1=3i
z2=a+bi

z1+z2=3i+a+bi=a+(3+b)i

|z2|=$\sqrt{a^2+b^2}$=7
$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2=7^2 \\ {a}^2+b^2=49 \end{gathered}$$

$a^2+b^2=49$ är en cirkel med radien 7. Detta medför att $-7\ge a,b\ge 7$ .

|z1+z2|=|a+(3+b)i|=$\sqrt{a^2+{(3+b)}^2}$

$$\begin{gathered} \sqrt{a^2+{(3+b)}^2}=\sqrt{a^2+b^2+6b+9}=\sqrt{49+6b+9}=\sqrt{58+6b} \\ \left|z1+z2\right|=\sqrt{58+6b} ,men -7\le b\le 7 \\ b=-7 ger minsta värde \\ \left|z1+z2\right|=\sqrt{58+6*-7}=\sqrt{16}=4 \end{gathered}$$

Jag kom fram till $\sqrt{58+6b}$själv också, men hade ingen aning hur jag skulle fortsätta efteråt, så antog att jag var ute och cyklade! Tack!

Är det någon särskild anledning att du inte vill lösa uppgiften grafiskt, som Yngve tipsar om? Vilken geometrisk figur kommer alla tänkbara värden på z₁+z₂ bilda? Vilken av dessa punkter ligger närmast origo?

Smaragdalena skrev:

Är det någon särskild anledning att du inte vill lösa uppgiften grafiskt, som Yngve tipsar om? Vilken geometrisk figur kommer alla tänkbara värden på z₁+z₂ bilda? Vilken av dessa punkter ligger närmast origo?

Visa gärna hur du löser uppgiften på det sättet.

Markera talet z₁=3i i det komplexa talplanet. Vi vet att _z2 har absolutbeloppet 7, så alla z₂ skulle ligga på en cirkel med radien 7 och centrum i origo. Alla komplexa tal z₁+z₂ kommer att ligga på cirkel med radien 7 och centrum i 3i. Den punkt på denna cirkel som ligger närmast origo måste vara -4i, så det minsta värde som |z₁+z₂|kan ha är 4.

Smaragdalena skrev:

Markera talet z₁=3i i det komplexa talplanet. Vi vet att _z2 har absolutbeloppet 7, så alla z₂ skulle ligga på en cirkel med radien 7 och centrum i origo. Alla komplexa tal z₁+z₂ kommer att ligga på cirkel med radien 7 och centrum i 3i. Den punkt på denna cirkel som ligger närmast origo måste vara -4i, så det minsta värde som |z₁+z₂|kan ha är 4.

Hur kommer du fram till -4i ligger närmast?

oneplusone2 skrev:

Hur kommer du fram till -4i ligger närmast?

Okulär besiktning 😀

oneplusone2 skrev:

Smaragdalena skrev:

Markera talet z₁=3i i det komplexa talplanet. Vi vet att _z2 har absolutbeloppet 7, så alla z₂ skulle ligga på en cirkel med radien 7 och centrum i origo. Alla komplexa tal z₁+z₂ kommer att ligga på cirkel med radien 7 och centrum i 3i. Den punkt på denna cirkel som ligger närmast origo måste vara -4i, så det minsta värde som |z₁+z₂|kan ha är 4.

Hur kommer du fram till -4i ligger närmast?

Om inte cirkelns medelpunkt hade legat på en av axlarna hade det inte varit lika lätt att se.

Smaragdalena skrev:

oneplusone2 skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Markera talet z₁=3i i det komplexa talplanet. Vi vet att _z2 har absolutbeloppet 7, så alla z₂ skulle ligga på en cirkel med radien 7 och centrum i origo. Alla komplexa tal z₁+z₂ kommer att ligga på cirkel med radien 7 och centrum i 3i. Den punkt på denna cirkel som ligger närmast origo måste vara -4i, så det minsta värde som |z₁+z₂|kan ha är 4.

Hur kommer du fram till -4i ligger närmast?

Om inte cirkelns medelpunkt hade legat på en av axlarna hade det inte varit lika lätt att se.

intuition räcker inte som motivation

Av symmetriskäl är det närmast från origo till punkten -4i. Vill  man visa de mer rigoröst behöver man beräkna absolutbelopp, ungefär som du gjorde längre upp i tråden, med skillnaden att man vet vad det är man vill komma fram till.

Smaragdalena skrev:

Av symmetriskäl är det närmast från origo till punkten -4i. Vill  man visa de mer rigoröst behöver man beräkna absolutbelopp, ungefär som du gjorde längre upp i tråden, med skillnaden att man vet vad det är man vill komma fram till.

Visa gärna vilka symmetrier du använder dig av för att komma fram till att -4i är närmast. Helst med någon konkret beräkning som underlag.

oneplusone2 skrev:

intuition räcker inte som motivation

Det är inte intuition, det är en grafisk lösning.

Det går att hitta den sökta punkten genom att bara titta på bilden.

Yngve skrev:

oneplusone2 skrev:

intuition räcker inte som motivation

Det är inte intuition, det är en grafisk lösning.

Det går att hitta den sökta punkten genom att bara titta på bilden.

Här har du en inzoomad version av situationen:

Är u eller v längst? Efter en viss punkt blir det orimligt att acceptera "man kan se det i bilden" som en definitiv lösning.

Jag förstår inte riktigt vad du är ute efter här.

På denna uppgift krävs endast svar.

En grafisk lösning enligt mitt förslag skulle konsumera minimalt med tid för att kamma hem den enda A-poäng som uppgiften gav och dessutom ha väldigt låg risk för onödiga räknefel.

Den tid som eleven på detta sättet sparar kunde då användas till andra uppgifter på NP som krävde mer i form av uträkningar och/eller redovisningar.

Antag att en person får frågan: Vilken sida i en rätvinklig triangel är störst? Hen pekar på hypotenusan och säger "jag ser att den här är störst". Ok säger jag och frågar personen, "kan du motivera det på något annat sätt?" Hen svarar: "hypotenusan är alltid störst i en rätvinklig triangel". Vilket är en verbal formulering av Pythagoras sats.

Poängen där är att det finns en förklaring som är nära till hands för att motivera den visuella observationen.

Analogt med den här diskussionen är:

Du påstår att ditt ögonmått säger att -4i ger den kortaste sträckan. Vad för koncept som ligger nära till hands kan du använda för att motivera det på ett annat sätt?

Min tanke är att i den här situationen så är det svårare att förlita sig på något bekant resultat för att underbygga ögonmåttet. Det är dessutom inte lätt att avgöra vilken av u och v ovan som faktiskt är längst. Använder man då ögonmått som enda motivation så är det inget mer än en gissning. "Gissa på -4i" blir alltså slutsatsen.

För att fortsätta på den grafiska lösningen: Rita en cirkel med radien 4 med centrum i origo. Håller du med om att allt som ligger utanför cirkeln har ett absolutbelopp som är större än 4? Håller du med om att cirkeln med radie 7 och centum i 3i ligger utanför den nyss nämnda cirkeln utom i en enda punkt, där de tangerar varandra?

oneplusone2 skrev:

...

Använder man då ögonmått som enda motivation så är det inget mer än en gissning. "Gissa på -4i" blir alltså slutsatsen.

Om eleven tycker att det är OK med denna "gissning" så är väl allt frid och fröjd. 1 A-poäng, ka-ching! och så vidare till nästa uppgift.

Annars så går det ju att motivera bättre, både algebraiskt som du har visat, eller grafiskt, till exempel med följande resonemang:

Vi tittar på tre olika cirklar $x^2+(y-y_0)^2=r^2$ som alla innehåller punkten $P=(0,-4)$:

• A: En liten cirkel, t.ex. med $r=1$. Vi konstaterar här att av alla punkter på cirkeln så ligger $P$ då längst bort från origo.
• B: En väldigt stor cirkel, där vi kan låta $r$ går mot oändligheten. Den delen av cirkeln som går genom $P$ närmar sig då en horisontell linje $y=-4$. Vi ser då att av alla punkter på cirkeln så ligger $P$ närmast origo. Detta pga att hypotenusan i en (i stort sett) rätvinklig triangel alltid är längre än kateterna.
• C: En cirkel med radie $r=4$. Här har vi att alla punkter på cirkeln ligger lika långt från origo.

Vi kan då generalisera detta till att känna oss hyfsat säkra på att för alla cirklar där $r>4$ så ligger $P$ närmast origo. Och detta gäller då även i vårt fall, där $r=7$.

============

Men min poäng är att detta bara är slöseri med tid.

Smaragdalena skrev:

För att fortsätta på den grafiska lösningen: Rita en cirkel med radien 4 med centrum i origo. Håller du med om att allt som ligger utanför cirkeln har ett absolutbelopp som är större än 4? Håller du med om att cirkeln med radie 7 och centum i 3i ligger utanför den nyss nämnda cirkeln utom i en enda punkt, där de tangerar varandra?

Snyggt! I like!

Jag tycker att vi har nått en bra punkt i den här diskussionen. Blev en rätt intressant debatt om vad som är en godtagbar grafisk lösning. Tack till alla som deltog!