NP 2012 Vt

Hur har du tänkt själv? Vad krävs för att ett tal ska vara delbart med fem eller sju?

Vad jag har förstått det som är att om ett tal ska vara delbart med en viss nämnare måste även samma faktor finnas i talet. 

Så: $1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9 = 362880$

Men eftersom ett inte gör något som faktor: 

$2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9 = 362880$

Men härefter förstår jag inte hur jag ska bryta ner talet. Vissa säger att man kan bryta ner det till primtalsfaktorer och sedan på något sätt få ner produkten till 2520. 

$$\begin{gathered} 2\times 3\times 2\times 2\times 5\times 3\times 2\times 7\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3 \\ =2^7\times 3^4\times 5\times 7 \end{gathered}$$

Det är en mycket bra början! Talet måste vara delbart med 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Att primtalsfaktorisera är en bra början. Kika på talen i primtalsfaktoriserad form:

$\begin{array}{cc}\overline{)1}& 1\\ \overline{)2}& 2\\ \overline{)3}& 3\\ \overline{)4}& 2·2\\ \overline{)5}& 5\\ \overline{)6}& 2·3\\ \overline{)7}& 7\\ \overline{)8}& 2·2·2\\ \overline{)9}& 3·3\end{array}$

De tal som redan är primtal måste finnas med, alltså 2, 3, 5 och 7, men om vi tittar på de tal som är inte är primtal:

$$\begin{gathered} \begin{array}{cc}4& 2·2 \\ 8& 2·2·2 \\ \\ 6& 2·3\\ 9& 3·3\end{array} \end{gathered}$$

Ser du hur vissa faktorer återkommer? Du behöver bara ha med varje faktor "en gång". Om du redan tagit med två tvåor från primtalsfaktoriseringen av fyran, behöver du endast ta med en tvåa från primtalsfaktoriseringen av åttan. De andra tvåorna "finns redan med" i talet. Detta beror på att ett tal som är delbart med åtta, automatiskt är delbart med fyra. Om du kikar i listan över primtalsfaktoriseringarna igen, hur många faktorer behöver du ta med?