Normalvektorn

I princip kan du använda vilken yta som helst som har kurvan som rand när du använder Stokes sats.

Oftast (men inte alltid) är det bäst att välja en enkel yta, så som här delen av planet z = x + 1. Då är normalen i alla punkter ...

Dr. G skrev:

I princip kan du använda vilken yta som helst som har kurvan som rand när du använder Stokes sats.

Oftast (men inte alltid) är det bäst att välja en enkel yta, så som här delen av planet z = x + 1. Då är normalen i alla punkter ...

 Aah ok, så ngn utav z... om jag väljer då z=x+1.

då får jag $\frac{N}{|N|}$ nää... ska jag ta kryssprodukten av x+1, eller ?

 Vi kan skriva om planet som: (-1)*x+(0)*y+(1)*z=1. Vad är en normal till planet?

Moffen skrev:

 Vi kan skriva om planet som: (-1)*x+(0)*y+(1)*z=1. Vad är en normal till planet?

 var fick du -1 ifrån?

Normal är ju när den är original. 

Vad menar du med "när den är original"?

-1 fick jag från att: z=x+1 <=>-x+z=1=(-1)*x+(1)*z=1

Moffen skrev:

Vad menar du med "när den är original"?

-1 fick jag från att: z=x+1 <=>-x+z=1=(-1)*x+(1)*z=1

 mena ortogonal

Moffen skrev:

Vad menar du med "när den är original"?

-1 fick jag från att: z=x+1 <=>-x+z=1=(-1)*x+(1)*z=1

så den här. Då väljer jag z=y och får du normalvektorn (0,-1,1) ??

Ja precis, det är en normal till planet (med positiv z koordinat). 

Hej heymel,

Det är lätt att bli förvirrad av alla ytor, fält, normaler och integraler. Därför är det extra viktigt att man alltid börjar med att skissa en bild över situationen. I det här fallet har vi två ytor som skär varandra.

Den ena ytan är mantelytan till en  kon med spetsen i origo, den andra ytan är bara ett enkelt plan (som lutar lite). Så här kan planet och konen se ut från sidan:

Om vi tittar på konen från en annan vinkel ser vi tydligt hur konen skär planet längs den blå skärningskurvan.

Det är integralen utmed den blå linjen för vektorfältet F du ska beräkna. Det är viktigt att du skiljer på kurvor, ytor och fält.

För att beräkna linjeintegralen utmed den blå skärningskurvan med hjälp av Stokes sats behöver du en ytnormal till någon av ytorna, t.ex. planet.

Antingen kommer du ihåg från linjär algebra att normalen till ett plan ges av $(n_x, n_y, n_z)$ i planets ekvation

$n_xx+n_yy+n_zz=d$

Och skriver om ekvationen som Albin  Moffen visar.

Eller också kommer du ihåg att ytnormalen till en yta som parametriseras av $z=f(x,y)$ ges av $\mathbf{n}=(-f'_x, -f_y', 1)$.

I detta fall är $z=f(x,y)=x+1$ och en ytnormal till planet blir därför

$(-f'_x, -f_y', 1)=(-1, 0, 1)$

Tänk på att denna ytnormal inte är normerad samt att det är minst lika rätt att låta normalen till planet peka åt rakt motsatt håll. Titta på figuren ovan tänk dig normalen som en pil vinkelrät mot planet. Pekar pilen uppåt eller nedåt?

Edit: Det var visst Moffen som visade, inte Albin :)

Guggle skrev:

I detta fall är $z=f(x,y)=x+1$ och en ytnormal till planet blir därför

$(-f'_x, -f_y', 1)=(-1, 0, 1)$

Tänk på att denna ytnormal inte är normerad samt att det är minst lika rätt att låta normalen till planet peka åt rakt motsatt håll. Titta på figuren ovan tänk dig normalen som en pil vinkelrät mot planet. Pekar pilen uppåt eller nedåt?

 så den måste stå så här då:

$\frac{1}{\sqrt2}(-1,0,1)$ ??