Normalen i gauss sats

Normalen till den slutna ytan brukar i textböcker vara definierad så att den pekar ut från ytan. Din normal pekar i positiv z-riktning vilket inte blir ut från ytan.  Jag ska med cylinderkoordinater försöka visa vad det innebär. Jag använder parametriseringen:

$\boldsymbol{r}(\rho,\phi)=(\rho\cos{(\phi)},\rho\sin{(\phi)},\rho)$.

Vi behöver vidare:

$\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial\rho}\times \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\phi}=(-\rho\cos{(\phi)},-\rho\sin{(\phi)},\rho)$.

Lägg märke till att vektorn pekar åt fel håll eftersom dess z-komponent är $\rho\geq 0$.
Eftersom förutsättningen är att normalen ska ha negativ z-komponent så erhålls istället integralen över $-S$ vid beräkning:

$\int_S \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}(\rho,\phi)) \cdot \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\rho}\times\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\phi} d\rho d\phi =$

$\int_S \rho^4(1-\cos{(\phi)}^4-\sin{(\phi)}^4)d\rho d\phi=\frac{\pi}{10}(1+B)^5$.

Locket $S_1$ kan beräknas genom arean för en cirkel:

$\int_S_1 (B+1)^3 dS_1 = \pi (B+1)^5$.

Nu kan vi summera svaren över areorna, eftersom integralen över $-S$ tidigare beräknades så blir:

$\pi(B+1)^5-\frac\pi{10}(1+B)^5=\frac{9\pi}{10}(1+B)^5$.

Nu kan du kontrollera om jag räknade rätt med hjälp av Gauss sats.

R0BRT skrev:

Normalen till den slutna ytan brukar i textböcker vara definierad så att den pekar ut från ytan. Din normal pekar i positiv z-riktning vilket inte blir ut från ytan.  Jag ska med cylinderkoordinater försöka visa vad det innebär. Jag använder parametriseringen:

$\boldsymbol{r}(\rho,\phi)=(\rho\cos{(\phi)},\rho\sin{(\phi)},\rho)$.

Vi behöver vidare:

$\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial\rho}\times \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\phi}=(-\rho\cos{(\phi)},-\rho\sin{(\phi)},\rho)$.

Lägg märke till att vektorn pekar åt fel håll eftersom dess z-komponent är $\rho\geq 0$.
Eftersom förutsättningen är att normalen ska ha negativ z-komponent så erhålls istället integralen över $-S$ vid beräkning:

$\int_S \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}(\rho,\phi)) \cdot \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\rho}\times\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\phi} d\rho d\phi =$

$\int_S \rho^4(1-\cos{(\phi)}^4-\sin{(\phi)}^4)d\rho d\phi=\frac{\pi}{10}(1+B)^5$.

Locket $S_1$ kan beräknas genom arean för en cirkel:

$\int_S_1 (B+1)^3 dS_1 = \pi (B+1)^5$.

Nu kan vi summera areorna enligt $S+S_1$ och eftersom $-S$ tidigare beräknades så blir:

$S+S_1=\pi (B+1)^5-\frac{\pi}{10}(1+B)^5=\frac{9\pi}{10}(1+B)^5$.

Nu kan du kontrollera om jag räknade rätt med hjälp av Gauss sats.

• Om det hade varit typ en ellips? eller en sfär? hade man använt deras koordinater då?
• och bara en cirkel, $$r(t) = (x,y,f(x,y)) "bara"?

Du behöver anpassa dina koordinater efter hur ytan ser ut.