Normalen i gauss sats

jag har svårt att hitta $r(t)$ i den när jag ska beräkna integralen $\iint_{dK} F \cdot N dS$

jag tänker att $x$ och $y$ ska variera fritt, och då få

$r(t) = (x,y,\sqrt{x^2+y^2}$

varför valde jag $z=x^2+y^2$ ? Jo, för att jag tänker att det kommer från $x^2+y^2 \le z^2$

Men den kryssprodukten blir ju uttryck som $(\frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},1)$ och det känns inte rätt.

Så jag behöver en normal för ett lock? "Pyradmiden längst ned" Och den andra saken mellan 1 -> 2 enl. bilden? eller hur?

Normalen till den slutna ytan brukar i textböcker vara definierad så att den pekar ut från ytan. Din normal pekar i positiv z-riktning vilket inte blir ut från ytan. Jag ska med cylinderkoordinater försöka visa vad det innebär. Jag använder parametriseringen:

$\boldsymbol{r}(\rho,\phi)=(\rho\cos{(\phi)},\rho\sin{(\phi)},\rho)$ .

Vi behöver vidare:

$\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial\rho}\times \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\phi}=(-\rho\cos{(\phi)},-\rho\sin{(\phi)},\rho)$ .

Lägg märke till att vektorn pekar åt fel håll eftersom dess z-komponent är $\rho\geq 0$ .
Eftersom förutsättningen är att normalen ska ha negativ z-komponent så erhålls istället integralen över $-S$ vid beräkning:

$\int_S \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}(\rho,\phi)) \cdot \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\rho}\times\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\phi} d\rho d\phi =$

$\int_S \rho^4(1-\cos{(\phi)}^4-\sin{(\phi)}^4)d\rho d\phi=\frac{\pi}{10}(1+B)^5$ .

Locket $S_1$ kan beräknas genom arean för en cirkel:

$\int_S_1 (B+1)^3 dS_1 = \pi (B+1)^5$ .

Nu kan vi summera svaren över areorna, eftersom integralen över $-S$ tidigare beräknades så blir:

$\pi(B+1)^5-\frac\pi{10}(1+B)^5=\frac{9\pi}{10}(1+B)^5$ .

Nu kan du kontrollera om jag räknade rätt med hjälp av Gauss sats.

R0BRT skrev:
Normalen till den slutna ytan brukar i textböcker vara definierad så att den pekar ut från ytan. Din normal pekar i positiv z-riktning vilket inte blir ut från ytan. Jag ska med cylinderkoordinater försöka visa vad det innebär. Jag använder parametriseringen:

$\boldsymbol{r}(\rho,\phi)=(\rho\cos{(\phi)},\rho\sin{(\phi)},\rho)$ .

Vi behöver vidare:

$\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial\rho}\times \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\phi}=(-\rho\cos{(\phi)},-\rho\sin{(\phi)},\rho)$ .

Lägg märke till att vektorn pekar åt fel håll eftersom dess z-komponent är $\rho\geq 0$ .
Eftersom förutsättningen är att normalen ska ha negativ z-komponent så erhålls istället integralen över $-S$ vid beräkning:

$\int_S \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}(\rho,\phi)) \cdot \frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\rho}\times\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\phi} d\rho d\phi =$

$\int_S \rho^4(1-\cos{(\phi)}^4-\sin{(\phi)}^4)d\rho d\phi=\frac{\pi}{10}(1+B)^5$ .

Locket $S_1$ kan beräknas genom arean för en cirkel:

$\int_S_1 (B+1)^3 dS_1 = \pi (B+1)^5$ .

Nu kan vi summera areorna enligt $S+S_1$ och eftersom $-S$ tidigare beräknades så blir:

$S+S_1=\pi (B+1)^5-\frac{\pi}{10}(1+B)^5=\frac{9\pi}{10}(1+B)^5$ .

Nu kan du kontrollera om jag räknade rätt med hjälp av Gauss sats.

Om det hade varit typ en ellips? eller en sfär? hade man använt deras koordinater då?
och bara en cirkel, $$r(t) = (x,y,f(x,y)) "bara"?

Du behöver anpassa dina koordinater efter hur ytan ser ut.

Svara

Visa senaste svar