Normalen

Jag kan se hur det funkar med sqrt(2)/2, och eftersom det är samma som 1/sqrt(2), så borde det komma fram till samma svar??

Med "normalgradienten" tror jag du menar en vektor som är ortogonal mot gradienten. Det finns inget sådant enkelt samband i tre dimensioner.  Jag tror du tänker på $k_1\cdot k_2=-1$ som gäller i två dimensioner för riktningskoefficienter.

Nivåytan i uppgiften har formen $f(x,y,z)=x^2+y^2-z=C$. För just den här nivåytan är $C=0$

Gradienten bildar en normal till alla nivåytor, dvs $\nabla f$ är en normal till alla tangerande plan.

Nice!! Ok, så negativ inverse gäller bara för 2D för att ta gradienten till normal gradienten, rätt? 
Och när min föreläsare skriver normalen till tangentplanet blir (2x, 2y, -1), så är det "bara" derivatan av ytan... ?

(jag ser att det stämmer matamatiskt, men hon ber om tangentplanet , och jag trodde tangent gradient och normal gradient var olika... hur skulle man bara få den vanliga gradienten vid den punkten isf om normalgradienten är bara derivatan?)