normal linjär operator

För T(f) = f' över det inre-produktrummet V=P₂(R) där $⟨ f (x), g (x) ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t$ , bestäm om T är normal, self-adjoint eller varkendera.

För att bestämma om T är normal så gäller det att TT* = T*T. Om vi antar att $α = {1, x, x ²}$ är en ordnad bas för V. Då kan vi ställa upp ${[T]}_{α} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ och då blir ${[T]}_{α}^{*} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$ .

Men i facit står det att det inte räcker med att kontrollera att TT* = T*T i basen $α$ . Däremot om man får fram en rotonormerad bas till T då kan man beräkna T* i den ortonormerade basen och utföra TT* och T*T för att veta om de är lika. Kan någon förklara för mig varför det inte fungerar i basen α?

I ärlighetens namn vet jag inte, men pröva att räkna på någon annan bas där siffrorna är så absurda att de omöjligen kan vara ortonormerade. t.ex {1000,x,x²} eller {1,1000x,x²}. Kolla vad som blir annorlunda.

Jag vet dock inte om detta ger något. Allrahelst eftersom jag får skilda matriser då jag tar TT* respektive T*T, så det lär du väl få för knasbaserna också, och vi vill ju ha något exempel där operatorn är normal för att se varför man uppenbarligen måste ha en ortonormerad bas.

Här är det viktigt att skilja på operatorn och dess matrisrepresentation i en bas. När man använder en ortogonalbas blir Grammen (eller metriska tensorn) trivialt enhetsmatrisen.

Det borde väl räcka att kolla att TT* = T*T. Däremot så är det inte sant för alla baser att matrisen för T* få genom att transponera matrisen för T. Gäller för ON-bas.

Vad exakt säger facit?

Om jag inte räknar fel så gäller det generellt att

${(T *)}_{j}^{i} = \sum_{k, m} g_{j k} T_{m}^{k} g^{i m}$ , där $g_{. .}$ är den metriska tensorn och $g^{. .}$ är dess invers.

Nu har jag hittat en sats som bör svara på frågan.

Denna sats säger om basen är ortonormerad kan vi enkelt sätta upp T och beräkna T* genom sambandet [T*]β=[T]β*. Men om basen inte är ortonormerad så behöver vi först få fram en ortonormerad bas till T och sedan använda konjugat-transponering av T, dvs. T*. Ett annat alternativ är att använda sambandet ⟨T(x), g⟩=⟨x,T*(g)⟩.

Ja, då får du kanske först ta fram en ON-bas B = (b_i)ⁿ_i=1 och ta fram matrisen [T]_B relativt basen B.

Om man istället tillämpar den formel (som inte kräver att B är ON) som jag nämnde så har man matrissambandet

[T*]_B = G^-1[T]_B^TG.

Där G_ij = <b_i, b_j>.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, då få du kanske först ta fram en ON-bas B = (b_i)ⁿ_i=1 och ta fram matrisen [T]_B relativt basen B.

Om man istället tillämpar den formel (som inte kräver att B är ON) som jag nämnde så har man matrissambandet

[T*]_B = G^-1[T]_B^TG.

Där G_ij = <b_i, b_j>.

Den metriska tensorn har jag ingen aning om. Jag har inte sett något om tensorer överhuvudtaget i kursen linjär algebra.

Kör på ON-bas då.

Svara

Visa senaste svar