Normal approximation & proportion random variable

Hej!

Jag hänger inte med i uträkningen av följande uppgift:

"The tread life of Stone Soup tires can be modeled by a normal distribution with a mean of 35,000 miles and a standard deviation of 4,000 miles. A sample of 100 of these tires is taken. What is the probability that more than 25 of them have tread lives of more than 38,000 miles?"

Jag fick fram P = 0.2266 genom normal fördelnings formeln - vilket inte var några problem. Jag har dock problem med den andra delen när vi ska beräkna proportionen: Enligt min lärare ska nya s beräknas enligt: s = $\sqrt{\frac{P (1 - P)}{n}}$ men i uträkningen beräknar de det nya s såhär: s = $\sqrt{n P (1 - P)}$ — hur funkar det? Jag får nämligen fram ett svar på s som är 100 gånger mindre, alltså sqrt((0,2266)(1-0,2266)/100) = 0,04186. Annars hänger jag med på allt annat!

Vad betyder s (som din lärare säger) respektive $\sigma$ (som det står i lösningen)? Är det samma sak?

Yes, precis! Det är samma sak. Ursäkta, skulle skrivit det istället!

Vad är det som s (eller $\sigma$ ) betecknar? Är det någonting som rimligen blir 10 ggr större eller en tiondel så stort om antalet i stickprovet blir 100 ggr större?

Hur är resten av frågan formulerad? Du har ju redan räknat ut sannolikheten P, som är det enda man frågar efter i det som du har citerat.

Det är standard avvikelsen from medelvärdet. Det som jag inte förstår är varför de multiplicerar med n (antalet i urvalet/provet) än att dividera med n, som den "verkliga" formeln säger.

Standardavvikelsen av vad? Vad står det att formeln du hittat ska användas till? Kan du lägga upp resten av uppgiften?

Hej,

Du har rätt i att det där är formeln för standardavvikelsen när du vill räkna fram en proportion. I frågan frågar de dock efter antalet. Så en lösning är att räkna som du räknat för att få fram proportionen av antalet däck som har längre räckvidd än 38.000 miles, och sedan multiplicera med 100 (som är totala antalet däck man tittat på), och du kommer få samma svar som facit.

Men, för att förklara hur facit räknar (vilket är kanske lite mer direkt, men också för att försöka ge en förståelse):

Du har fått ut att sannolikheten för att ett däck har livslängd över 38.000 miles är p=0.2266. Om du då tittar på 100 däck och undrar hur många som kommer ha livslängd över 38.000 miles kommer detta följa en binomial-fördelning $Bin(100, 0.2266)$ (att ett däck har denna räckvidd är en bernoulli-variabel med p=0.2266, och du har 100 sådana däck). Eftersom en binomial-fördelning är en summa av bernoulli-variabler med väntevärde $\mu_{bern}=p$ och standardavvikelse $\sigma_{bern}=\sqrt{p(1-p)}$ kan vi plugga in detta i centrala gränsvärdessatsen: Antalet däck (binomial-fördelad) kan approximeras som en normalfördelning med $\mu=n*\mu_{bern}=np$ och standardavvikelse $\sigma=\sqrt{n}*\sigma_{bern}=\sqrt{np(1-p)}$ .

Tillägg: 5 jan 2022 10:16

När jag läste ditt inlägg igen blev jag lite osäker på hur du räknat, så jag kan inte riktigt uttala mig om ditt sätt att räkna funkar. Men du har i alla fall fått förklaringen hur man gjort i facit

Wow! Vilket bra svar, jag förstår precis. Tack för hjälpen, uppskattar det verkligen!

Svara

Visa senaste svar