nonArchimedean property

Det är två saker som saknas i din översättning

1. Förtydligande om villkoren på hur en rationell funktion i detta sammanhang skrivs i standardform

2. Förtydligande av hur ordningsrelationen är definierad

Jag misstänker därmed att missförstånden kommer från att inte ha uppmärksammat någon av dessa i detalj så jag gör det själv. 

1. För det första kan ju rationella uttryck skrivas på artimetiskt ekvivalenta former såsom att $\frac{X + 1}{X - 1}$ är samma som $\frac{(-1)X + (-1)}{(-1)X + 1}$. Detta är dock ett problem då ordningsrelationen kommer att definieras utifrån strukturen hos täljare så det krävs att man ger vissa specifikationer om vad som är standardformen man talar om när man talar om en rationell funktion. 

I texten säger de att ett rationellt uttryck här alltid skrivs så att nämnarens ledande koefficient alltid är positiv. Jag tänker formalisera detta ett steg till och säga att vi klumpar ihop alla aritmetiskt ekvivalenta rationella funktioner i ekvivalensklasser där representanten för varje klass är det ekvivalenta rationella uttryck skrivet så att den ledande koefficienten i nämnaren är 1

$f = \frac{\sum_{i = 0}^n a_i X^i}{\sum_{j = 0}^m b_j X^j}, \quad b_m = 1$

Alltså att $f = \frac{(-1/2)X^2 + 1}{X^3 +1/2}$ och $$f' = \frac{X^2 +  4}{-2X^3 - 1}$$ är samma funktion men endast den första är representaten för klassen, eller om man så vill, är skriven i "standardform".

2. Ordningsrelationen definieras via att

$f = \frac{\sum_{i = 0}^n a_i X^i}{\sum_{j = 0}^m b_j X^j}, \quad b_m = 1$

sägs vara positiv om den ledande koefficienten i standardformens täljare är positiv, dvs $a_n > 0$. Effektivt betyder detta att en allmänn rationell funktion är positiv om de ledande koefficienterna i täljare och nämnare har samma tecken och negativ om de har olika tecken.

Vi säger sedan att $f > g$ om $f -g> 0$, "om f-g är positiv" där man alltså för att avgöra vilken som är störst behöver utföra subtraktionen och därefter kontrollera de ledande koefficienternas tecken.

Detta är en väldigt konstlad ordningsrelation men är tydligen så den är formulerad. 

Så innan vi går vidare med själva behandlingen av arkimediska egenskapen, var du uppmärksam på dessa två definitioner?

om jag har förstått dig rätt, i (1) så specificerar man standard formen: även om funktioner kan skrivas med en negativ koefficient i nämnaren, så är standard formen vald så att nämnaren alltid är 1 och att täljarens koefficient $a_i$ kan vara negativ eller positiv beroende på utrycket

i (2) så beskrivs det att uttrycket $f$ är positiv om $a_n$$>0$, detta gäller för att standardformen vald har alltid en positiv koefficient i nämnaren. annars  hade en rationell funktion även varit positiv om $a_n,b_m<0$

$f>g\to f-g>0 iff (f-g) har en positiv koefficient$, Vad skulle vara en mer rigorös formulering?

En del ur det du skrev verkar inte ha fungerat riktigt, alltså symbolerna verkar inte vara där?

Alltså att f=(−1/2)X2+1X3+1/2 och $f' = \frac{X^2 + 4}{-2X^3 - 1}$ är samma funktion men endast den första är representaten för klassen, eller om man så vill, är skriven i "standardform" 

 

Edit: Verkar som att symbolerna kommer fram efter att man "copy,paste" 

Så standardformen vi jobbar med är ${}^{\mathit{f}\mathit{=}}\frac{\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i}{\sum _{j=0}^m{b}_j{X}^j}$, där $b_m=1$

Tydligen. Jag har inte stött på den här strukturen tidigare och är rätt så klumpig. Var halvvägs genom inlägget som jag insåg att definitionerna i wikiinlägget var ekvivalenta med

"Effektivt betyder detta att en allmänn rationell funktion är positiv om de ledande koefficienterna i täljarpolynomet och nämnarpolynomet har samma tecken, och negativ om de har olika tecken."

$f(X) = \cfrac{a_0 + ... + a_n X^n}{b_0 + ... + b_m X^m}$

$f > 0 \Leftrightarrow a_n b_m > 0$ (ekvivalent definition, enligt min tolkning)

Vilket jag tycker var en med lättfattlig definition än att envisas med att skriva rationella funktioner på en viss form som inlägget gör. 

Då blir det ganska naturligt att det är en genuin ordning då de flesta egenskaperna ärvs via att den ledande termen hos summan/produkten av två polynom är summan/produkten av termernas/faktorernas ledande koefficienter.

Hur går man sedan vidare?

I detta sammanhang betyder tydligen att en ordnad kropp (field) $K$är arkimediskt att det för alla tal $a \in K$ sådana att $0 < a=""><>$ existerar ett tal $n \in \mathbb{N}$ sådant att $1 < na="">$ dvs att om man adderar ett litet element tillräckligt många gånger så blir det större än 1.

Låt oss visa att det finns många element i vårt fält som har egenskapen att även om 0< f < 1 så gäller att nf < 1 för alla heltal n dvs att oavsett hur många gånger man adderar det rationella utrrycket så blir det inte större än 1. 

Låt oss gå igenom villkoren i definitionen och försök hitta ett element som bibehåller de först akriterierna men inte att 1  <nf.

Först ska f = p/q vara positivt självt så 0 < p/q innebär att de ledande koefficienterna i p och q har samma tecken, låt oss anta positiva.

Sedan ska f < 1 vilket ger 0 < 1 - p/q eller 0 < (q - p)/q vilket betyder att q antingen ska ha högre grad än p eller om de har samma grad att q har en större ledande koefficient än p.

Ett exempel på en funktion som har båda dessa egenskaper är 1/x, men även (x + 1)/(2x + 1) eller (x^2 + 1)/(x^3 + 1) kvalificerar. Låt oss undersöka specifikt 1/x.

Låt säga att det fanns ett tal n som gjorde att 1 < n(1/x). Detta är dock omöjligt då n(1/x) - 1 = (n - x)/x inte är en positiv funktion då produkten av täljaren och nämnarens ledande koefficienter är (-1)(+1) = (-1) oavsett hur man väljer n. Därmed tillfredställer 1/x inte den arkimediska egenskapen och fältet som helthet är inte arkimediskt. (sq)

Övning kan vara att se om man kan hitta någon positiv funktion som är mindre än 1 men som om man adderar den tillräckligt många gånger blir större än 1. 

Man borde kunna tänka på ordningsrelationen som att f>g om f(x)>g(x) när x är väldigt stort.

Tack! jag tror jag förstått rätt ,t.ex

 $$\begin{gathered} låt oss säga n\left(\frac{x+1}{2x+1}\right)>1\to \frac{(nx+n)-(2x+1)}{2x+1}\to \frac{x(n-2)+(n-1)}{2x+1} \\ från detta kan vi säga att n\ge 2 tillfredställer den arkemidiska egenskapen \end{gathered}$$$>0$, för positiva x, 

Är jag på rätt spår i min resonering? ska ta och jobba genom ett par exempel!

Tack så mycket för hjälpen!