Nollrum och värdemängd

Värdemängden är alla vektorer som man kan få som resultat genom att applicera den linjära avbildningen på definitionsmängden. 

Nollrummet är en delmängd av definitionsmängden.

Att ta snittet av nollrum och värdemängd är inte nödvändigvis något som är meningsfullt göra då de inte nödvändigtvis är jämförbara objekt. 

Tänk oss avbildningen T av typ

$T: R^3 \to R^2$

som effektivt utraderar z-komponenten

$T(x,y,z) = (x,y)$ 

De element som avbildas på (0,0) är här alla vektorer på formen (0,0,t) där $t\in R$ kan vara vilket reellt tal som helst.

Nollrummet är alltså $\{(0,0,t);t\in R\}$ men skärningen mellan denna mängd och värdemängden $\emptyset$ eftersom nollmängden är inbäddad i dimension 3 och värdemängden har dimension 2

Hade man istället haft avbildningen $G: R^3 \to R^3$

$G(x,y,z) = (x,y,0)$ så hade nollmängden varit densamma $\{(0,0,t);t\in R\}$ men nu är överlappet mellan värdemängd och nollmängd istället $\{(0,0,0)\}$

Ska man dock beräkna skärning mellan nollrum och värdemängd allmänt så bör man helt enkellt göra de två stegen:

1. Bestäm nollrummet, dvs ange någon representation av den

2. Bestäm värdemängden, dvs ange någon representation av den

3. Jämför dem

Det relevanta för mig blir därför i vilka situationer du vet och inte vet hur du kan lösa dessa delproblem?

SeriousCephalopod skrev:

Värdemängden är alla vektorer som man kan få som resultat genom att applicera den linjära avbildningen på definitionsmängden. 

Nollrummet är en delmängd av definitionsmängden.

Att ta snittet av nollrum och värdemängd är inte nödvändigvis något som är meningsfullt göra då de inte nödvändigtvis är jämförbara objekt. 

Tänk oss avbildningen T av typ

$T: R^3 \to R^2$

som effektivt utraderar z-komponenten

$T(x,y,z) = (x,y)$ 

De element som avbildas på (0,0) är här alla vektorer på formen (0,0,t) där $t\in R$ kan vara vilket reellt tal som helst.

Nollrummet är alltså $\{(0,0,t);t\in R\}$ men skärningen mellan denna mängd och värdemängden $\emptyset$ eftersom nollmängden är inbäddad i dimension 3 och värdemängden har dimension 2

Hade man istället haft avbildningen $G: R^3 \to R^3$

$G(x,y,z) = (x,y,0)$ så hade nollmängden varit densamma $\{(0,0,t);t\in R\}$ men nu är överlappet mellan värdemängd och nollmängd istället $\{(0,0,0)\}$

Ska man dock beräkna skärning mellan nollrum och värdemängd allmänt så bör man helt enkellt göra de två stegen:

1. Bestäm nollrummet, dvs ange någon representation av den

2. Bestäm värdemängden, dvs ange någon representation av den

3. Jämför dem

Det relevanta för mig blir därför i vilka situationer du vet och inte vet hur du kan lösa dessa delproblem?

 Känns som det börjar klarna, men behöver inte nollrummet vara 0 endast? känner mig ganska förvirrad ang. det.

Tänkte allmänt. 

Nollrummet kommer alltid att innehålla nollvektorn men det är möjligt för nollrummet att innehålla fler vektorer än bara nollvektorn.

Skälet till att nollvektorn alltid finns i nollrummet följer av att definitionsmägdens nollvektor alltid måste avbildas på värdemängdens nollvektor, och kan anses vara en konsekvens av linjäritetsvilkoret:

$T(k\mathbf v) = k T(\mathbf v)$

Där man för nollvektorn alltid kan föra resonemanget

$T(\mathbf 0) = T(0 \cdot \mathbf{0}) = 0 \cdot T(\mathbf {0}) = \mathbf{0}$ **

där $0 \cdot \mathbf v = \mathbf 0$ för alla $\mathbf v \in V$ används

**samma beteckning används för nollvektorn i definitionsmängden och i värdemängden även fast de kan vara olika vektorer. 

SeriousCephalopod skrev:

Nollrummet kommer alltid att innehålla nollvektorn men det är möjligt för nollrummet att innehålla fler vektorer än bara nollvektorn.

Skälet till att nollvektorn alltid finns i nollrummet följer av att definitionsmägdens nollvektor alltid måste avbildas på värdemängdens nollvektor, och kan anses vara en konsekvens av linjäritetsvilkoret:

$T(k\mathbf v) = k T(\mathbf v)$

Där man för nollvektorn alltid kan föra resonemanget

$T(\mathbf 0) = T(0 \cdot \mathbf{0}) = 0 \cdot T(\mathbf {0}) = \mathbf{0}$ **

där $0 \cdot \mathbf v = \mathbf 0$ för alla $\mathbf v \in V$ används

**samma beteckning används för nollvektorn i definitionsmängden och i värdemängden även fast de kan vara olika vektorer. 

 Inte helt hundra på hur T(kv)=kT(v) gör att definitionsmägdens nollvektor alltid måste avbildas på värdemängdens nollvektor?

$T(\mathbf 0) = \mathbf 0$ för alla linjära transformation är också bara något som man provisoriskt kan memorera om beviset inte är övertygande.

Mer intuitivt så brukar jag ådra mig att linjära transformationer är generaliseringar av rotationer, uttöjningar och kompressioner av pilar men om man roterar eller töjer ut en pil utan längd eller riktning så kommer den fortfarande sakna längd och riktning efter att operationerna är utförda.

SeriousCephalopod skrev:

$T(\mathbf 0) = \mathbf 0$ för alla linjära transformation är också bara något som man provisoriskt kan memorera om beviset inte är övertygande.

Mer intuitivt så brukar jag ådra mig att linjära transformationer är generaliseringar av rotationer, uttöjningar och kompressioner av pilar men om man roterar eller töjer ut en pil utan längd eller riktning så kommer den fortfarande sakna längd och riktning efter att operationerna är utförda.

 Då förstår jag, Tack så mycket!

Annars har du för linjär avbildning allmänt att

T(x + y) = T(x) + T(y)

Med y = 0 (nollvektorn) blir det

T(x + 0) = T(x) + T(0)

så alltså

T(0) = T(x) - T(x) = 0