Nolldimension

En matris är en linjär avbildning mellan 2 linjära rum. En $m\times n$ matris tar en vektor från ${\mathrm{ℝ}}^n$ och avbildar den på en vektor i ${\mathrm{ℝ}}^m$. Om vi då tittar på en produkt av matriser så kan du se det som först en avbildning och sen en till, typ funktionssammansättning:

$\mathit{A}\mathit{B}\mathit{x}\mathbf{=}\mathit{A}\mathbf{\left(}\mathit{B}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathit{A}\mathit{y}$

Eftersom AB är definierad så har A lika många kolumner som B har rader. Det kan vi skriva som ${\mathit{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{j}}\mathbf{ }och {\mathit{B}}_{j\times n}\mathbf{ }\Rightarrow \mathit{A}{\mathit{B}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}$. Det betyder att $\mathit{x}\in {\mathrm{ℝ}}^n$ och $\mathit{y}\in {\mathrm{ℝ}}^j$.

Alla vektorer i nollrummet till B kommer att avbildas på nollvektorn 0 i ${\mathrm{ℝ}}^j$. Vad händer då när du sedan applicerar A? Matrisen A har ju också ett nollrum (kanske bara med nollvektorn). Du behöver formalisera det här resonemanget (om det överhuvudtaget går att begripa...).