Nisse som köper glass - på hur många olika sätt kan han komponera sin glass?
Hej, för några veckor sedan gjorde jag ett prov och skulle lösa följande uppgift
Nisse köper glass på Stockholms Glassbar. Han väljer 4 kulor av 9 smaker i en bägare och bryr sig inte om i vilken ordning kulorna kommer. Han kan välja samma smak flera gånger. Hur många sätt kan Nisse komponera sin glass? Motivera uträkningen.
Jag tänkte att eftersom han kunde repetera smakerna och inte brydde sig om ordningen kan man använda sig av någon av följande formler:
Jag fick då Men man behövde motivera för att få full poäng och jag vet inte riktigt hur jag ska motivera.
Den här sortens problem brukar kallas för "stars and bars" på engelska vilket syftar på ett smart sätt att tänka kring dem.
Låt oss representera glassmakerna med siffrorna 1,2,3,...,9. Tänk på textraden "1 2 3 4 5 6 7 8 9" som att det symboliserar lådorna med de olika glassmakerna. Om Nisse väljer en av glassmakerna visar vi det genom att sätta en pil "<" till höger om smaken. Så om Nisse t.ex. väljer smakerna 1, 4, 6, 8 visar vi det med "1< 2 3 4< 5 6< 7 8< 9". Om Nisse väljer samma smak flera gånger så sätter vi bara flera pilar till höger, så om Nisse väljer smak 5 fyra gånger så får vi "1 2 3 4 5<<<< 6 7 8 9".
Om man tänker efter lite nu så är varje sätt Nisse kan välja sina smaker på bara ett sätt att sätta in pilarna in i vår textrad. Så antalet sätt Nisse kan välja smaker på är bara antalet sätt att sätta in fyra pilar i textraden. Eftersom att textraden med pilarna är totalt 9+4=13 lång samt att vi inte kan ha pilar längst till vänster i textraden (de pilarna hade inte pekat på någon glassmak), så finns det 12 ställen man kan lägga in sina pilar. Vi undrar alltså om antalet sätt att välja fyra positioner ur 12, vilket helt enkelt är .
