Newton-Raphsons metod - hur fungerar den och problem som kan uppstå när metoden tillämpas.

Hej! Jag och min klasskompis har fått i uppgift att redovisa följande uppgift (vi går matte 5):

Uppgift 5 – Numerisk metod för ekvationslösning

a) Ta reda på hur Newton-Raphsons metod för att lösa ekvationer numeriskt går till.
b) Förklara hur och varför metoden fungerar.
c) Använd metoden för att lösa ekvationen 𝑥3 + 𝑥 = 17 numeriskt med tre decimalers noggrannhet.
d) Metoden kan inte användas framgångsrikt för att lösa alla ekvationer. Redogör för några problem som kan uppstå när man tillämpar metoden och varför dessa problem uppstår.

Vi måste ha godkänt på uppgiften för att få godkänt i kursen och har fastnat på a) , c) och d) (primärt d faktiskt). Kan någon kunnig hjälpa oss?

Tack på förhand! :)

Korrigering: a, b och d

Kanske lite sent svar, men Newton-Raphson är en otroligt effektiv numerisk metod som konvergerar mot svaret väldigt snabbt om alla villkor uppfylls.

a) och b) $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x)}{f' (x)}$ Är formeln för metoden, man har en funktion och man väljer ett startvärde (gissar en lösning) för x, sedan så stoppar man in det i formeln för att sedan generera ett nytt (bättre) värde för x som kommer vara närmare den riktiga lösningen. Geometriskt sett så funkar det som så att vid startvärdet så går man upp/ner till funktionen och tittar på tangentlinjen på funktionen vid just det x-värdet, där tangentlinjen skär x-axeln blir det nya x-värdet, och sedan så fortsätter man så här, så detta är en iterativ metod.

c) Skriver man ekvationen som en funktion så har vi f(x)=x3+x-17, den riktiga lösningen blir ungefär 2.44175... Men låt oss anta att vi inte visste detta, så vi gissar ett värde, exempelvis x=1, då blir nästa x-värde:

$1 - \frac{f (1)}{f' (1)} = 1 - \frac{1^{3} + 1 - 17}{3 {(1)}^{2} + 1} = 4.75$ , nästa värde blir:

$4.75 - \frac{f (4.75)}{f' (4.75)} = 3.368$ , nästa värde blir:

$3.368 - \frac{f (3.368)}{f' (3.368)} = 2.6665$ , nästa värde blir:

$2.6665 - \frac{f (2.6665)}{f' (2.6665)} = 2.4593$ , nästa värde blir:

$2.4593 - \frac{f (2.4593)}{(2.4593)} = 2.44187$ , nästa värde blir:

$2.44187 - \frac{f (2.44187)}{f' (2.44187)}$ =2.44176, nu så ändras knappt decimalerna längre, så vi kan vara säkra på att svaret kommer vara 2.441-något i alla fall.

d) Detta metod är inte perfekt dock, skulle du exempelvis råka gissa ett x-värde (startvärde) just där derivatan är 0, dvs på en max/minimipunkt, då kommer tangentlinjen aldrig skära x-axeln, och då är man fast. Det kan även dyka upp problem om derivatan vid vår gissning är nära 0, för då kommer tangentlinjen att skära x-axeln väldigt långt bort från vårt område, och om funktionen är periodisk/har flera rötter så kan man råka få fel lösning då tangenslinjen pekar mot en annan lösning än den vi ville ha.

Svara