Vektorprodukt, negativ vinkel?

Börjat förvirra mig lite över varför $\overset{⇀}{e_{3}} \times \overset{⇀}{e_{1}} = \overset{⇀}{e_{2}} o c h \overset{⇀}{e_{1}} \times \overset{⇀}{e_{3}} = - \overset{⇀}{e_{2}}$ .

Känns så ologiskt när jag kollar:

och z=e3, y=e2, x=e1.

I mitt huvud blir vinkeln mellan e1 och e3 moturs och därför positiv.

Uppskattas om någon vill förklara :)

Enligt vad jag kommer ihåg, så länge dem tre vektorna respekterar en den högerorienterad sekvens (alltså $e_{1}, e_{2}, e_{3} (o c h i g e n) e_{1}, e_{2} . . .$ ) blir vektorprodukt positiv.

I ditt första exempel, $e_{3}$ följds av $e_{1}$ som följds av $e_{2}$ , därför blir det positiv. Om du kryssar $e_{1}$ och $e_{3}$ respekteras inte längre den högerorienterad karusselordningen, och isf blir det negativt.

*edit: jag lag till den magisk ord högerorienterad, men det slår inte Alvins ritning.

Använd högerhandsregeln!

Om du lägger tummen på det som står till vänster i kryssprodukten ( $\vec{e_1}$ ) och pekfingret på det som står till höger ( $\vec{e_3}$ ) kommer långfingret att peka i kryssproduktens riktning:

I detta fall ser vi att långfingret pekar i motsatt riktning mot $y$ -axeln, alltså kommer kryssprodukten $\vec{e_1}\times\vec{e_3}$ vara negativ i $y$ -led.

Skulle du däremot ha haft $e_3$ till vänster skulle du lagt tummen på $z$ -axeln och pekfingret på $x$ -axeln. Då skulle långfingret ha pekat i samma riktning som $y$ -axeln, då skulle produkten vara positiv i $y$ -led.

EDIT: Skrev lite fel först. Det har jag nu fixat.

Och så heter det tredje fingret långfinger och inte ringfinger.. Jag kanske borde gå om förskolan..

Tack så mycket!

Får man fråga varför den fungerar och varför man inte kan kolla vinklarna utan högerhandsregeln..?

Jag tror att det är för att kryssprodukt är inte kommutativ.

Alltså att $b \times a = - (a \times b)$

Om du gör det en kryssprodukt (med matrismetoden) ser man att om du inverterar rad får man motsatstecken.

$|\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}|$ = $(a 2 b 3 - a 3 b 2) - (a 1 b 3 - a 3 b 1) + (a 1 b 2 - a 2 b 1)$

$|\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}|$ = (b2a3 - b3a2) - (b1a3 - b3a1) + (b1a2 -b2a1)

(sorry för indexer....)

dajamanté skrev:
Jag tror att det är för att kryssprodukt är inte kommutativ.
Alltså att $b \times a = - (a \times b)$
Om du gör det en kryssprodukt (med matrismetoden) ser man att om du inverterar rad får man motsatstecken.
$|\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}|$ = $(a 2 b 3 - a 3 b 2) - (a 1 b 3 - a 3 b 1) + (a 1 b 2 - a 2 b 1)$

$|\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}|$ = (b2a3 - b3a2) - (b1a3 - b3a1) + (b1a2 -b2a1)

(sorry för indexer....)

jaha! Tack så mycket! :)

Svara

Visa senaste svar