Negativ area
Hej!
Om vi har en integral som anger en area under x-axeln, skriver man då ett minustecken framför arean? Eftersom den är "negativ"?
Har sett blandade svar... då många skriver ett minustecken medan vissa inte gör.
Smith skrev :Hej!
Om vi har en integral som anger en area under x-axeln, skriver man då ett minustecken framför arean? Eftersom den är "negativ"?
Har sett blandade svar... då många skriver ett minustecken medan vissa inte gör.
Det beror på vad det är du beräknar.
En area är aldrig negativ men en integrals värde kan mycket väl vara negativt.
Om vi beräknar en integral, låt oss säger -2 och 2 av en funktion. Området inom det intervallet är under x-axeln. Blir då integralens värde ett värde med ett minustecken framför?
För integralens värde är ju ändå en area så att säga..?
Men som svar på det jag egentligen tror att du frågar:
Beräkna arean av det slutna område som bildas mellan kurvan y = x^2 - 4 och x-axeln.
Generellt gället att arean mellan två funktioners grafer är lika med integralen av "övre" funktionen minus "undre" funktionen.
"Övre" funktionen är i detta fall linjen y = 0.
"Undre" funktionen är i detta fall kurvan y = x^2 - 4.
Arean mellan dessa kurvor är därför lika med
Integralen från x = -2 till x = 2 av (0 - (x^2 - 4)) dx, vilket är lika med Integralen från x = -2 till x = 2 av - (x^2 - 4) dx.
Därav "minustecknet".
Menar inte på det viset. Menar rent allmänt, alltså om man ska ta reda på en area som ligger under x-axeln och integralens värde, låt oss säger blir -5. Ska jag då skriva arean är 5 a.e eller -5 a.e?
Smith skrev :Menar inte på det viset. Menar rent allmänt, alltså om man ska ta reda på en area som ligger under x-axeln och integralens värde, låt oss säger blir -5. Ska jag då skriva arean är 5 a.e eller -5 a.e?
En area är aldrig negativ som sagt var.
Men om du har kommit fram till svaret -5 så har du inte satt upp en korrekt formel för arean.
Då har du troligtvis inte tagit hänsyn till detta med "övre" och "undre" funktion (se min tidigare förklaring).
Kan du visa ett exempel så kan vi berätta varför det blir som det blir?
Jag har inget exempel, så man ska alltid ta hänsyn till övre och undre funktion? Och om det är endast ett område under x-axeln blir det automatiskt så att övre är noll? För då kommer väl integralen positiv? Men alltså inträffar det aldrig så att en integral blir negativ när det handlar om områden på grafer? Hart du exempel på när integralen kan vara negativ och svaret också negativ?
Smith skrev :Jag har inget exempel, så man ska alltid ta hänsyn till övre och undre funktion? Och om det är endast ett område under x-axeln blir det automatiskt så att övre är noll? För då kommer väl integralen positiv? Men alltså inträffar det aldrig så att en integral blir negativ när det handlar om områden på grafer? Hart du exempel på när integralen kan vara negativ och svaret också negativ?
Ja om du ska beräkna areor med hjälp av integraler ska du ska alltid ta hänsyn till övre och undre funktion.
Jag ska försöka förklara hur det hänger ihop:
Eftersom x-axeln är alla punkter som uppfyller sambandet y = 0 så kan den beskrivas av funktionen g(x) = 0.
Exempel 1:
Beräkna arean mellan x-axeln och grafen till (se bild).
f(x) (grön graf) skär x-axeln (röd graf) vid x = 0 och x = 4. I intervallet är f(x) den "övre" funktionen och x-axeln, dvs g(x) = 0 är den "undre" funktionen.
Arean mellan funktionerna kan då skrivas som
Exempel 2:
Beräkna arean mellan x-axeln och grafen till (se bild).
f(x) (grön graf) skär x-axeln (röd graf) vid x = 0 och x = 4. I intervallet är x-axeln, dvs g(x), den "övre" funktionen och f(x) är den "undre" funktionen.
Arean mellan funktionerna kan då skrivas som
Okej nu förstår jag tack!
