Negation till ett påstående

Påståendet är väl "för alla reella tal N finns något reellt tal x som är större". Det betyder inte att något reellt tal är störst (tvärtom).

Påståendet är ju att det INTE finns något reellt tal som är störst, utan vilket värde N som du än väljer, så kan jag säga till exempel "Då väljer jag x som är lika med N+1".

Om vi bortser från din felaktiga tolkning av det första påståendet så ser dina "formler" ut att vara korrekta.

Påståendet $\left(\forall x\right)\left(P\left(x\right)\right)$ är ju falskt om och endast om det finns åtminstone ett x sådant att P(x) inte är uppfyllt. Därför har vi att 

$\neg (\forall x)\left(P\right(x\left)\right) = (\exists x)(\neg P(x\left)\right)$.

Vidare har vi därför även att (byt $P\left(x\right)$ mot $\neg P\left(x\right)$ i formeln ovan och negera båda led)

$\neg (\exists x)\left(P\right(x\left)\right) =\neg \neg (\forall x)(\neg P(x\left)\right) = (\forall x)(\neg P(x\left)\right)$, dvs

$\neg (\exists x)\left(P\right(x\left)\right) = (\forall x)(\neg P(x\left)\right)$.

PATENTERAMERA skrev:

Om vi bortser från din felaktiga tolkning av det första påståendet så ser dina "formler" ut att vara korrekta.

Påståendet $\left(\forall x\right)\left(P\left(x\right)\right)$ är ju falskt om och endast om det finns åtminstone ett x sådant att P(x) inte är uppfyllt. Därför har vi att 

$\neg (\forall x)\left(P\right(x\left)\right) = (\exists x)(\neg P(x\left)\right)$.

Vidare har vi därför även att (byt $P\left(x\right)$ mot $\neg P\left(x\right)$ i formeln ovan och negera båda led)

$\neg (\exists x)\left(P\right(x\left)\right) =\neg \neg (\forall x)(\neg P(x\left)\right) = (\forall x)(\neg P(x\left)\right)$, dvs

$\neg (\exists x)\left(P\right(x\left)\right) = (\forall x)(\neg P(x\left)\right)$.

Det var faktiskt inte min tolkning! Så står det i facit...Men jag tyckte ändå att det lät rimligt att tolka det på det viset. Hur skulle du annars tolka det första påståendet?

Se kommentarerna från Skaft och Smaragdalena.

 Med vanligt språkbruk skulle jag säga att för varje reellt tal går det att finna ett annat reellt tal som är större, vilket är sant. Men det betyder ju absolut inte att det finns ett största reellt tal. Det skulle ju bli påståendet $(\exists y\in \mathrm{ℝ})(\forall x\in \mathrm{ℝ})(x\le y)$.

Du får gärna visa vad facit säger.

PATENTERAMERA skrev:

Se kommentarerna från Skaft och Smaragdalena.

 Med vanligt språkbruk skulle jag säga att för varje reellt tal går det att finna ett annat reellt tal som är större, vilket är sant. Men det betyder ju absolut inte att det finns ett största reellt tal. Det skulle ju bli påståendet $(\exists y\in \mathrm{ℝ})(\forall x\in \mathrm{ℝ})(x\le y)$.

Du får gärna visa vad facit säger.

Ja, det  stämmer. Nu när jag dubbelchekcat svaret så ser jag att det som står i facit är egentligen negationen till påståendet. Tack för hjälpen! Det är verkligen kul att resonera med er.