Naturliga logaritmer, strängt växande

Att en funktion f är strängt växande definieras som:   x<y medför f(x)<f(y) för alla reella x och y

Ditt påstående kan också uttryckas mer allmänt. Om en funktion f har egenskapen att f(x)=f(y) om och endast om x=y, så har f en invers. (Det kallas att funktionen är injektiv.) Om f är strängt växande, som ex din ln-funktion är, så är f  injektiv. Ett exempel på en funktion som INTE har denna egenskap är g(x)=x² för här kan vi ta a=1, b=2 och c=-3. Då blir g(a+b)=g(3)=9=g(-3).

Man kommer nog undan det om man istället skriver:

$e^{\ln(a+b)}=e^{\ln c} \implies a+b=c$ eftersom $e^{\ln x}=x$.

$e^x$ är ju strikt monoton $\iff$ den är injektiv och då finns endast ett x-värde per y-värde så då får man inte problemet som med exemepvlsi x^2 som endast är injektiv om vi splittrar den vid sin minimipunkt

Okej, tack för svaren. 

Dracaena skrev:

Man kommer nog undan det om man istället skriver:

$e^{\ln(a+b)}=e^{\ln c} \implies a+b=c$ eftersom $e^{\ln x}=x$.

$e^x$ är ju strikt monoton $\iff$ den är injektiv och då finns endast ett x-värde per y-värde så då får man inte problemet som med exemepvlsi x^2 som endast är injektiv om vi splittrar den vid sin minimipunkt

Hej!

Jag ser inte hur man undkommer "ett faktum" att invers existerar genom det där. I originalposten nämnde vi att funktionen är strängt växande (och att det då finns en invers) och det var en motivering till varför vi kan säga att $a+b=c$. Att ta $e$ upphöjt till HL och VL är ju bara att vi använder inversen (som vi till och med har en formel för), men då vet vi redan att vi har en invers. Problemet blir då att man bara kanske inte vet hur mycket man ska motivera varje steg. Ditt steg med att använda $e$ kan nästan ses som "underförstått" för att direkt gå från $\ln\left(a+b\right)=\ln\left(c\right)$ till $a+b=c$.

Det var inte jättetydligt att uppgiften var att visa, att f strängt växande medför f injektiv, så Dracaena kan ha sett ett mer pedagogiskt behov. Emellertid får vi "cirkelbevis" om vi använder e-funktionen för att visa injektivitet. Där har Moffen rätt.

Antag därför att f är strängt växande men ej injektiv.  Enligt definitionen på icke-injektivitet finns då x skilt från y sådana att f(x)=f(y). Att x är skilt från y medför att x<y eller x>y. Vi behandlar fallet x<y.       f strängt växande medför då att f(x)< f(y), vilket strider mot f(x)=f(y) som var antagandet. Vi har därför en motsägelse och påståendet att f är injektiv därmed visat.

Om vi låter x = a+b och y=c så följer a+b=c av x=y (injektiviteten) 

(Fallet x>y används för att bevisa motsvarande för en strängt avtagande funktion.)