Naturliga logaritmer och integral
Jag förstår inte hur jag ska lösa den här. I facit säger dem att den primitiva funktionen för 1/t kan skrivas som lnx. Men hur? Varför blir inte den primitiva funktionen (1*t^0)/0? Varför blir det lnx?!
Det finns ett ganska fint bevis för att primitiva funktionen till 1/t är ln t (för t > 0), men det tar för stor plats här. Ett sätt att visa det är att gå till funktionen e^t som är invers till ln t.
Om du deriverar y = t^p så får du pt^(p–1). Ifall p = 0 så blir derivatan 0 gånger t^(–1). Nollan raderar ju faktorn med t, så om vi vill gå åt andra hållet och integrera t^(–1) så får vi med tumregeln, som du skrivit, en nolla i nämnaren vilket gör att regeln kraschar.
Så vi får nyansera regeln: Primitiva funktionen till t^p är [t^(p+1)]/(p+1) UTOM när p = –1, i så fall är primitiva funktionen ln t. (Det blir annorlunda för t < 0, men det är en annan fråga.)
Om vi utifrån detta tittar på uppgiften så blir jag fundersam. Jag tycker att man kan definiera som man vill; olika a ger olika definitioner av ln x. Så jag vet inte hur boken tänkt sig svaret.
Men du kan ju veta att man bestämt att a ska vara 1, för i så fall blir det mest praktiskt.
Använd att ln(1) = 0.
Det haltar litet tycker jag. Uttrycket lanseras som en definition. Vi vet ju inte att ln(1) = 0 förrän vi har definierat funktionen?
Men, tack Laguna, det är nog så det är tänkt.
