Naturliga logaritmen (Matematik/Matte 3)

du har:
ln(x)+ln(2x)=5

när sta rad är fel. HL borde bli e⁵

Varför ska det vara e^5? Ska det inte stå e^ln(5)?

Du gör fel på några ställen

ln x + ln 2x = 5

ln(2x²) = 5 OK så långt

När du sen eponentierar bägge led blir det tok, du blandar in ett ln i högerledet vilket är fel, du måste göra samma sak på bägge sidor!

e^ln(2x^{^2)}=e⁵

I steget efter gör du också något konstigt när du försöker förenkla VL

Utnyttja att e^ln(a) = a

Ekvationen blir då:

2x² = e⁵ som du kan fortsätta lösa på egen hand?

Så långt är jag med. Hur kan jag komma vidare?
Ska man skriva det som 2x^2=5? Elr hur kommer man vidare?

Sista raden är fel.

Det borde bli

$e^{\ln (2 x^{2})} = e^{5} 2 x^{2} = e^{5}$

Edit man utbyttjar att e^{ln a}=a i vänsterledet
Men det går ju inte i högerledet eftersom det är e⁵ inte e^ln(5)

När du exponentiererar dvs upphöjer bägge led med e måste du göra lika på båda sidor av likhetstecknent.

Då blir det enbart

e^{ln(2x^2)}= e⁵ =>

2x² = e⁵

Varför ska det enbart vara e^5? Varför inte e^ln(5) ?

om man tar e^ln(5) då blir det ju 5

Du måste göra samma sak både på vänster och höger sida i ekvationen.

Om du tar "e upphöjt till vänsterledet" så måste du även ta "e upphöjt till högerledet", inte "e upphöjt till logaritmen av högerledet".

Nu ser det bra ut.

Nästa steg blir att fundera på om båda lösningarna är giltiga eller inte.

I ursprungsekvationen ser du att det finns begränsningar i vilka värden på x som är giltiga.

x kan bara vara postivt värde, det gäller samma sak när man logaritmerar. Negativa lösningar utesluts alltid

Lisa14500 skrev:
x kan bara vara postivt värde, det gäller samma sak när man logaritmerar. Negativa lösningar utesluts alltid

I det här fallet stämmer det.

Men det stämmer inte att negativa lösningar alltid utesluts.

Om ekvationen t.ex. hade varit ln(x+2) = 0 så skulle lösningen vara x = -1, dvs ett negativt tal.

I det fallet gäller begränsningen att det måste gälla att x+2 > 0.

varför ska x vara -1?

Lisa14500 skrev:
varför ska x vara -1?

OBS! Detta har inget med din uppgift att göra, det är endast ett exempel som visar varför det ibland är OK att ekvationens lösning är negativ.

Vi har ekvationen

ln(x+2) = 0

Vi tar e^(VL) = e^(HL), vilket ger oss

e^(ln(x+2)) = e^0

Vänsterledet kan förenklas till x+2, högerledet är lika med 1. Det ger oss

x+2 = 1

Subtrahera 2 från båda sidor, vilket ger oss

x = 1-2

x = -1

Jaha okej. I det här fallet som du beskriver så kan x vara x=-1. Men varför kan x inte vara negativt i min ursprungsfråga?

Lisa14500 skrev:
Jaha okej. I det här fallet som du beskriver så kan x vara x=-1. Men varför kan x inte vara negativt i min ursprungsfråga?

Den logaritmfunktionen ln(a) vi använder på gymnasienivå är endast definierad för positiva värden på a.

Dvs ln(a) är endast definierad för a > 0.

I mitt exempel med ln(x+2) så betyder det att x+2 måste vara större än 0.

I ditt exempel med ln(x) och ln(2x) så betyder det att både x oxh 2x måste vara större än 0. Därför kan inte x vara negativt i din ursprungsfråga.

Alternativ lösning:

$\ln x+\ln 2x=5$

$\ln x+\ln 2+\ln x=5$

$2\ln x=5-\ln2$

$\ln x =\frac{5-\ln2}{2}$

$x=e^{\frac{5-\ln2}{2}}$

$x=\sqrt{\frac{e^5}{2}}$

Yngve skrev:
Lisa14500 skrev:
Jaha okej. I det här fallet som du beskriver så kan x vara x=-1. Men varför kan x inte vara negativt i min ursprungsfråga?

Den logaritmfunktionen ln(a) vi använder på gymnasienivå är endast definierad för positiva värden på a.

Dvs ln(a) är endast definierad för a > 0.

I mitt exempel med ln(x+2) så betyder det att x+2 måste vara större än 0.

I ditt exempel med ln(x) och ln(2x) så betyder det att både x oxh 2x måste vara större än 0. Därför kan inte x vara negativt i din ursprungsfråga.

Kan det bero på att ln(x+2) är detsamma som ln (-1+2) vilket är detsamma som ln(1) ? a är i det här fallet > 0

Ja det stämmer.

Kan du svara på följande frågor så ser vi om du har koll på detta nu?

För vilka värden på $x$ är följande uttryck odefinerade?

ln(x)
ln(x-2)
ln(3x+12)
ln(5/x)
ln(x^2)

1. om $x < 0$

2. om $x < 2$

3. om $x < - 4$

4. om $x \leq 0$

5. x är definerat för alla värden på x

Ja det stämmer. Bra!