Naturliga logaritmen

Mellan andra och tredje raden blir det fel. Du kan inte multiplicera bort (2-t) från nämnaren som du har gjort. Låt potenstvåan i HL vara kvar där den är, och upphöj istället båda leden med e som bas, så blir du av med logaritmuttrycken.

Tråd flyttad från Högskola till Matte 3/Naturliga logaritmer. /Smutstvätt, moderator

Låt andra raden vara $\ln \left(\frac{9t+72}{2-t}\right) = \ln {\left(t+6\right)}^2$. Ta sedan $e^{VL }= e^{HL}$ så att du blir av med logaritmerna. Lägg märke till att man kan bryta ut en faktor ur (9t + 72).

EDIT: Tänkte lite fel, det blev inte så bra som jag hade trott - om det hade varit 54 och inte 72 skulle det blivit mycket snyggare.

när du "tar bort" ln m.h.a. e så har du en tvåa framför ln.

$$\begin{gathered} \ln (9t+72)=2\ln (-t^2-4t+12) \\ 9t+72=e^{2\ln (-t^2-4t+12)} \\ 9t+72=(e^{\ln (-t^2-4t+12)}{)}^{{}^2} \\ 9t+72=(-t^2-4t+12{)}^2 \end{gathered}$$

EDIT: faktum är att detta är inte heller ok. du kan inte bara multiplicera över (2-t)

$$\begin{gathered} \ln \left(\frac{9t+72}{2-t}\right)=2\ln (t+6) \\ \ln (9t+72)=2\ln (t+6)(2-t) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} kvar efter att ha tagit e som bas och upphöjt VL och HL är då: \\ \frac{9t+72}{2-t}=2(t+6{)}^2 \\ 9t+72=2(t^2+12t+36\left)\right(2-t) \\ 9t+72=2(2t^2 - t^3+24t-12t^2+72-36t) \\ 9t+72=4t^2-2t^3+48t-24t^2+144-72t \\ 2t^3+20t^2+33t-72=0 \\ 2(t^3+10t^2+\frac{33}{2}t-36)=0 \\ Tänker jag rätt nu? \end{gathered}$$

Nästan rätt! Det har dock blivit fel med den faktor två som nu finns på två ställen (titta på första raden). Ta bort faktorn 2 och behåll exponenten. Då blir det rätt.

$$\begin{gathered} \frac{9t+72}{2-t}=(t+6{)}^2 alltså. \\ Så vad är anledningen till att 2:an tas ut? \\ Eller är det på detta sätt 9t+72=e^{(\ln \left(-t^2-4t+12\right){)}^2} \end{gathered}$$

För att kunna använda dig av omskrivningen $e^{VL} = e^{HL}$ och sedan ta bort både e och ln måste både HL och VL ha formen ln(nånting) - alltså kan du inte ha en tvåa utanför ln-uttrycket i HL.

Nu när jag har arbetat på detta sätt kommer jag fram till att t=0, t=-3 och t=-7. Det är bara t=-3 och t=0 som är definierat för villkoren i ursprungsuttrycket. När jag provar lösa VL och HL för sig med att stoppa in t-värden jag fick så blir det ej lika med varandra. Kan detta ske med logaritm funktioner?

EDIT: det blev likadant värde på båda sidor. Nu har jag en uppgift som ser ut såhär:

ln(9t+72)-ln(2-t)=2ln(t+6)

Vilket innebär att det är exakt samma ekvation och lösningar eftersom 2:an i HL går att flytta ut som exponent??

Nej, nu vill de att du skall logaritmera (t+6) och det fungerar inte för t = -7.

Vilket svarade du på?

Jag menar att i den nya uppgiften så funkar ju formeln plnx=lnx^p vilket innebär att jag kan flytta upp 2:an som exponent?

Nej. Du kan inte beräkna 2 ln(-7+6), inte om du vill hålla dig till reella tal.

Nej men alltså jag har satt villkor som säger att x ej får vara -6 men större. -7 blev ett av mina nollställen och det är inte en lösning som är definierad därför. Så därför blir alla reella tal,då kan jag väll använda räkneregeln och flytta upp 2:an?