Nationella provet 4 (2013) - Uppgift 13 b)

mirou skrev :

Hej,
Har på egen hand och sedan med hjälp av instruktionsvideo på Matteboken.se försökt bli klok på Uppgift 13 i nationella provet 4 från 2013.

Från 05:35 är jag inte riktigt med
http://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/nationella-prov/nationella-provet-vt13/uppgift-13

Instruktören menar att man vill ha kvar den reella delen 2 (absolutvärdet i polärform för z^3 = 2), så därför vill man ha värdet 1 på cos 3x och 0 på i sin 3x (så att det blir ett reellt tal i slutändan)).

Varför är det så viktigt att ha kvar 2an?

Vad jag förstått så löser man ut z^3 = 2 genom att ta $\sqrt[3]{2}$ (~ 1,26)

Sedan dividera vinkeln (0 i detta fall) med 3 och även varvtalet +n*360 dividerat med 3 vilket ger +n*120 eller 2pi/3 i radianer.

Och således de 3 övriga rötterna

z3 = $\sqrt[3]{2}$(cos 0 + i sin 0)
z4 = $\sqrt[3]{2}$(cos 2pi/3 + i sin 2pi/3)
z5 = $\sqrt[3]{2}$(cos 4pi/3 + i sin 4pi/3)

Har jag missförstått instruktionerna i videon möjligen?

 Hon omvandlar bara det reella talet 2 till det komplexa talet $r^n·(\cos \left(nv\right)+i·\sin \left(nv)\right)$ för att sedan kunna använda de Moivres formel.

För att dessa två tal ska vara lika krävs att realdelen av parentesen är lika med 1 och att imaginärdelen av parentesen är lika med 0.

Jag skulle nog ha resonerat mig fram till samma svar med hjälp av enhetscirkeln istället:

Vilka möjliga vinklar v (0 <= v < 2pi) ger resultatet n*2pi när de multipliceras med 3?

Dvs lös ekvationen 3v = n*2pi, med bivillkor 0 <= v < 2pi:

n = 0 ger v = 0

n = 1 ger v = 2pi/3

n = 2 ger v = 4pi/3

n > 2 ger v utanför tillåtet intervall.