Närmevärde till derivatan

Jag ska säga att jag inte har några kunskaper om vad som ingår exakt i de nya gymnasiekurserna i matte. Så jag förlorar lite kontexten här kanske. Men jag tror att vad som avses är att om man inte "vet funktionen för funktionen", vilket låter dumt, så kan man inte derivera den analytiskt. Alltså, om man bara har en graf så vet man inte hur man skall sätta formulera funktionen som "f(x)=y". Egentligen så vet man inte själva funktionen, man vet bara datavärden från en graf. Men man kan ändå använda dessa datavärden för att göra en ungefärlig derivata. Man kan ta två värden ur grafen nära på varsin sida och beräkna någon sorts numerisk derivata. Detta gör man enklast genom (f(b) - f(a))/(b-a).

Det är inte säkert att data som beskrivs med en graf kan beskrivas på något vettigt sätt genom vanliga mattematiska funktioner som man lär sig i skolan, i alla fall inte med någon större precision.

Håller med om att det låter lite som "om vi inte kan derivera funktionen, så kan vi derivera den". Men en viktig skillnad mellan analytisk (dvs, på pappret via deriveringsregler) och numerisk derivering är att den analytiska ger dig derivatan som en funktion. Då har du ett sätt att beräkna derivatans exakta värde, överallt på kurvan. Numerisk derivering (eller de grafiska metoder som nämns) låter dig hitta derivatans värde (på ett ungefär) i *en* eller ett fåtal punkter. Den analytiska derivatan är som en film i bästa upplösning, medan numeriska närmevärden är som suddiga stillbilder i jämförelse.

När man deriverar numeriskt så använder man sig av derivatans definition och beräknar differenskvoten för mindre och mindre värden på h. Det ingår i Ma3 att känna till detta. Om man känner till formeln för en viss funktion, men inte vet hur man deriverar denna, så kan man derivera numeriskt. Med andra ord så håller jag med Skaft.

Ok tack, då förstår jag att man exempelvis inte kan beräkna derivatan i en viss punkt då vi enbart vet punkter utan den numeriska deriveringen.

Men när det står graf eller formel, hur kan man då använda numrerisk derivering för att derivera något som inte går att derivera från första början? För jag tänker i dessa fall bör man ju kunna göra en derivering med hjälp av deriveringslagarna om den numeriska deriveringen ska fungera?  

Tack på förhand

852sol skrev:

[...]

För jag tänker i dessa fall bör man ju kunna göra en derivering med hjälp av deriveringslagarna om den numeriska deriveringen ska fungera?  

[...]

Nej den numeriska deriveringen fungerar även om vi inte har deriverat med hjälp av deriveringslagarna.

Det enda du behöver för en numerisk derivering är en möjlighet att beräkna funktionsvärden f(x) och såklart ett värde på x för vilket du vill ta fram en approximation av derivatans värde.

Och du behöver inte alls göra flera beräkningar med mindre och mindre värde på h. Det behöver du endast göra om du vill vara säker på att få en viss noggrannhet i resultatet.

Men när skulle det inte gå att beräkna en funktion som beskrivs med en graf eller formler med dervieringslagarna?

Tack på förhand

Till exempel här. Jag kan inte beräkna f'(x) med hjälp av någon deriveringsregel, men jag kan ta fram en approximation av derivatans värde för ett visst x genom att läsa av i grafen.

$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

Men enda anledningen till att det inte går att använda deriveringsregler är att vi inte har funktionen? Eller den här grafen borde väl inte gå att derivera allmänt då den inte är deriverbar i alla punkter (då det finns spetsiga delar)? Så denna graf kan inte heller deriveras med formel?

Tack på förhand

Enda anledningen till att det inte går att derivera min hittepåfunktion med deriveringsregler är att vi inte känner till funktionsuttrycket.

Om du zoomar in på grafen så ser du att de spetsiga delarna inte är spetsiga utan rundade. Så funktionen är deriverbar i alla punkter.

Så anledningen att vi ibland inte kan derivera funktioner som beskrivs med grafer och tabeller är att vi inte vet funktionen utan bara punkter på grafen? Men vad är anledningen att vi ibland inte kan derivera funktioner som beskrivs med formler? Det är väl formeln man brukar derivera med deriveringslagarna?
Tack på förhand

852sol skrev:

Så anledningen att vi ibland inte kan derivera funktioner som beskrivs med grafer och tabeller är att vi inte vet funktionen utan bara punkter på grafen? Men vad är anledningen att vi ibland inte kan derivera funktioner som beskrivs med formler? Det är väl formeln man brukar derivera med deriveringslagarna?
Tack på förhand

Ett exempel är funktioner som kan beskrivas med formler men inte på ett enkelt sätt.

Tag t.ex. funktionen $y(x)$ som bestäms av sambandet $y^2+x^2+x+1=e^{-y}$.

Funktionen $y(x)$ är implicit definierad, i motsats till t.ex $y(x)=x^3+3x^2$ som är explicit definierad.

För att derivera en implicit definierad funktion kan man försöka använda något som kallas implicit derivering, vilket inte ingår i gymnasiematten vad jag vet.