triometiska ekvationer där y=0

Det ser ganska OK ut. Ett par saker vill jag peka på. Glöm inte vad problemet handlar om. Variabeln x är antal timmar från midnatt. Bovarna kastar bytet vid 9-tiden (på förmiddagen). Det betyder att alla matematiska lösningar för x<9 är ointressanta.

Här är allt OK:

(Allt är OK här också:

men det är lättare att diskutera utifrån den förra)

Du letar efter alla x som uppfyller

$\sin \left(\frac{\pi (x+3)}{6}\right)=\frac{-0,75}{1,5}=-0,50$, där x>9     (ekv. 1)

Funktionen

$f\left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi (x+3)}{6}\right)$

ser ut så här:

Här har jag dragit linjen y=-0,5 också i rött. Det finns ganska många lösningar på det matematiska problemet (typ oändligt många). Vissa är intressanta andra inte.

Du räknar med radianer hela tiden. Det du gör här:

är helt enkelt att du inser att det finns många lösningar där högerledet är samma som vänsterledet i ekv 1, varav en lösning är $-\frac{\pi }{6}$ (n=0). I min graf ser du några av de andra lösningarna.

Sedan har du en ekvation för en annan lösning, x₂ som man nog lättast ser i enhetscirkeln:

I ditt fall är $\alpha$ negativ och ligger i 4:e kvadranten. Du har en ekvation med sinus och då har du en lösning i 3:e kvadranten också. I ditt fall $\pi +\frac{\pi }{6}$. Och sen upprepas bägge lösningar med perioden 2$\pi$. Du har skrivit fel när du nämner x₂ första gången men sen räknar du med rätt värde ser det ut som.

Kort sagt så har du gjort det mesta rätt och det är "översättningen till verkligheten" som kanske haltar. Dina 2 svar $\pm 4$ är lösningar på den matematiska ekvationen men bägge är irrelevanta eftersom bovarna slängde bytet ungefär vid 9 på förmiddagen. De riktiga lösningarna. D.v.s. de när man kan se bytet får man för sådana n där x>9.

Så jag har räknat fel ekvation än vad jag vill har. Det jag försökte göra var att räknar ut när vatten ytan var 0 och där efter ändra n-värdet för att ta reda på vilket klockslag då halsbandet är synligt. jag vet ju att den perioden som innehåller klockslaget 9 är vattentäkt då tjuvarna kastade halsbandet då. Men ska jag ändra om ekvationen i början ?

$$\begin{gathered} 0,75+1,5\sin \left(\frac{\pi \left(x+3\right)}{6}\right)=0 \\ 2,5\sin \left(\frac{\pi \left(x+3\right)}{6}\right)=0 \\ \sin \left(\frac{\pi \left(x+3\right)}{6}\right)=\frac{0}{2,5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{\pi \left(x+3\right)}{6}={\sin }^{-1}0 \\ x1 \frac{\pi \left(x+3\right)}{6}=0 \\ x\mathrm{\pi }+3\mathrm{\pi }=0·6 \\ x\mathrm{\pi }=-3\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x}=-3 \\ x2 \frac{\pi \left(x+3\right)}{6}=\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x\pi }+3\mathrm{\pi }=6\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x\pi }=3\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x}=3 \\ \mathrm{Men} \mathrm{här} \mathrm{bli} \det \mathrm{väl} \mathrm{oxå} \mathrm{fel}? \end{gathered}$$

Så jag har räknat fel ekvation än vad jag vill har

Nejdå inte alls. Du hade helt rätt ansats från början. Du skrev:

när  jag kollar svaret grafiskt så fick jag x1=4 och x2=8 och inte x1=-4 och x2=4 som jag fick det rent algebraiskt

Här är min graf igen. Nu med dina algebraiskt funna lösningar markerade i grönt:

Grafiskt hittade du en lösning till, nämligen 8 (markerad i svart). Och som du ser så är alla 3 lösningar matematiskt korrekta. Det är bara det att bytet hamnade i vattnet ungefär vid x=9. D.v.s. ingen av de gröna eller den svarta lösningen är relevanta.

Du undrar hur du ska hitta lösningen x=8 algebraiskt. Den får du om du sätter in lämpligt n i antingen x₁ eller x₂-lösningen. Det är bara det att jag nu ser att du har räknat fel i de lösningarna, trots din alldeles utmärkta ansats.

Här är dina räknefel:

Här multiplicerar du med 6 på ett felaktigt sätt, $(n·2\pi )·6\ne 6n·12\pi$.

Här har du dividerat med $\pi$ på felaktigt sätt, $(6n·12\pi )/\pi \ne \frac{6n}{\pi }·12$.

Du gör samma fel för x₂.

När du har rättat till räknefelen så kommer du att nå "den svarta" lösningen x=8 genom att välja ett lämpligt n. Men som sagt lösningen x=8 är inte heller relevant för problemet.

bli det

 $$\begin{gathered} (n·2\mathrm{\pi })·6=\mathrm{n}·12\mathrm{\pi } \\ \mathrm{samt} \\ (\mathrm{n}·12\mathrm{\pi })/\mathrm{\pi }=\mathrm{n}·12 \end{gathered}$$

alltså$$\begin{gathered} x1=-4+n·12 \\ x2=4+n·12 \\ så första perioden n \\ bli \\ x1=-4+1·12=8 \\ x2=4+1·12=16 \\ alltså när n=1 \end{gathered}$$

men detta borde väl oxå bli fel då första perioden borde bli x1=4 och x2=8 rent grafiskt eller har jag tänkt fel för jag vet att i andra perioden bli x1=16 och x2=20 alltså då Knatte, Fnatte och Tjatte hittar halsbandet 

min kommentar råkade fördubblade sig av någon anledning så har försökt ta bort men gick inte i alla fall kommentaren ovan är den som gäller 

Det ser jättebra ut. Lösningen på ekvationen är alltså:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-4+12n\\ x_2=4+12n\end{array}\right.$

Den har oändligt många lösningar eftersom det finns oändligt antal olika n. Vissa lösningar hittade du själv. Ett par till syns i min graf. Man brukar inte prata om första eller andra perioden. Det räcker att skriva upp lösningen som du har gjort med ett n. Då har du fått med alla oändligt många lösningar.

Det är precis som du säger att Knattarna kommer lagom för att se vattnet dra sig tillbaka så att halsbandet syns. I min graf ser man att vattnet fortsätter att dra sig tillbaka tills kl 18, då det vänder, och sedan täcks halsbandet igen vid 20. 16 motsvarar ditt x₂ för n=1. 20 motsvarar ditt x₁ för n=2.