När vill man ha oordnade baser?

Baser för vad?

Exempel på oordnade baser:  Baser för topologier. Vilken samling delmängder som helst kan utgöra delbas för en topologi. Ur delbasen härleds sedan en bas för topologin. Någon ordningsrelation erfordras inte.

Om du menar vektorrum, kan du ju ta alla reella polynom som ett reellt vektorrum på ett intervall [a, b]. En "naturlig" bas är {1, t, t^2, ...} men denna kommer inte vara ortonormal (i L^2). Exempelvis är ju <1, t>=(b^3-a^3)/3, vilket inte är noll i allmänhet.

Dualitetsförhållandet frågar om oordnade baser, inte ortonormala baser!

Qetsiyah skrev:

Dualitetsförhållandet frågar om oordnade baser, inte ortonormala baser!

Jag vet inte vad en oordnad bas är i sådana fall.

En bas är oordnad om det inte finns någon ordningsrelation på den.

Men baser är väl inte ordnade i allmänhet? Om vi har {1, i} som en bas för de komplexa talen som ett reellt vektorrum, vilket baselement är störst?

Asså ja, de komplexa talen går inte att ordna, men mängden med två element {1, i} går såklart att ordna.

Det är väl så att baser i allmänhet ÄR ordnade? Hur annars kan vi skriva vektorer som taltuplar?

I exemplet vektorrum är man nödgad att ha basen ordnad för att vektorerna ska vara väldefinierade. I fallet bas för en topologi behövs det inte. Ordningen behöver inte vara knuten till ett mått eller någon metrik/norm, så frågan om basen (1,i) för C "vilket baselement är störst?" kan vara irrelevant. Här ordnar vi ju istället från vänster till höger, platserna 1,2. Samma som för andra vektorrum. 

Det finns en krets av sinsemellan ekvivalenta satser som ligger i de djupaste områdena i matematiken.  Dit hör t ex Zorns lemma, Urvalsaxiomet, Tychonoffs sats och Välordningssatsen. Den sista säger: "Varje mängd kan välordnas" Alltså kan C välordnas. Har dock aldrig sett hur den välordningen ser ut och jag vet inte heller om den spolierar den fina algebraiska strukturer hos C. Ex om vi försöker ordna C efter absolutbelopp och tar ekvivalensklasser (detta är ingen välordning), ja då har vi fimpat i² = -1 och hamnat i R istället.