När ska man göra variabelbyte vid integration?

Hej , sitter och gör en ex tenta och en uppgift löd $\int_{} \frac{1}{x^{2} + 9} d x$ och den löste jag på följande sätt

$\frac{1}{9} \times \int \frac{1}{{(\frac{1}{3} x)}^{2} + 1} \Rightarrow a r c \tan (\frac{1}{3} x) \times \frac{1}{9} \times 3 \Rightarrow a r c \tan (\frac{1}{3} x) \times \frac{1}{3} + c$

Vilket är rätt

För söker däremot lösa följande uppgift på ett liknande sätt $\int \frac{x}{x^{2} + 9} x \int \frac{1}{x^{2} + 9} \Rightarrow x \times \frac{1}{9} \times \int \frac{1}{{(\frac{1}{3} x)}^{2} + 1} \Rightarrow a r c \tan (\frac{1}{3} x) \times \frac{1}{9} \times 3 \cdot x \Rightarrow a r c \tan (\frac{1}{3} x) \cdot \frac{x}{3} + c$

Detta är däremot inte rätt och i facit vill de att man gör ett variabelbyte där t=x^2+9 och då istället skriva om funktionen till en ln funktion.

Jag förstår varför det som står i facit är rätt och hur man ska beräkna men varför är mitt sätt fel? Varför ska man göra ett variabelbyte?

Du hade alltså x innanför en integral som du vill bryta ut innan du tog primitiven. Detta kan man inte göra.

Låt oss pröva ett enkelt exempel på detta:

$\int x = \frac{x^{2}}{2} + c \int x \neq x * \int 1 = x * (x + c) = x^{2} + c * x$

Som du ser får vi olika resultat.

Ah okej, borde förstått det. Tack för hjälpen!

Eftersom det verkar uppstå förvirring vid vad man får bryta ut ur integralen och inte, så skulle jag rekommendera att första steget är att sluta slarva med att inte skriva ut (i detta fall) $dx$ !

Om det stått $\displaystyle \int x\left(t\right)da$ så kan du bryta ut $x(t)$ då den inte beror av $a$ , men om det står $\displaystyle \int axdx$ så kan du bryta ut $a$ men inte $x$ (om vi antar att $a$ är en konstant).

Moffen skrev:
Eftersom det verkar uppstå förvirring vid vad man får bryta ut ur integralen och inte, så skulle jag rekommendera att första steget är att sluta slarva med att inte skriva ut (i detta fall) $dx$ !

Om det stått $\displaystyle \int x\left(t\right)da$ så kan du bryta ut $x(t)$ då den inte beror av $a$ , men om det står $\displaystyle \int axdx$ så kan du bryta ut $a$ men inte $x$ (om vi antar att $a$ är en konstant).

Förstår exakt vad du menar. Har en väldigt dålig vana med att inte skriva ut dx och förstår exakt hur jag ska tänka efter att tittat på ditt exempel.

Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar