När har kurvan dessa egenskaper?

Uppgift:

För vilka tal på a gäller att kurvan

$y = x^{3} + a x^{2} + x$

a) saknar extrempunkter

b) har terrasspunkt

c) har två extrempunkter?

Vi börjar med första uppgiften a):

Funktionens derivata är $3 x^{2} + 2 a x + 1$

$3 x^{2} + 2 a x + 1 = 0 x^{2} + \frac{2 a}{3} x + \frac{1}{3} = 0 x = - \frac{\frac{2 a}{3}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{\frac{2 a}{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{3}}$

Sedan så verkar det rimligt att om uttrycket under roten ur tecknet är mindre än noll (negativt) så kommer x inte ha några reella lösningar, och därför så kommer det inte finnas några extrempunkter.

${(\frac{\frac{2 a}{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{3} < 0 a < \sqrt{3}$

I facit så står det dock såhär:

$- \sqrt{3} < a < \sqrt{3}$

Jag förstår inte vart $- \sqrt{3}$ kommer ifrån? Kan någon förklara vart den negativa roten kommer ifrån?

Uppgfit b):

Jag har verkligen ingen aning hur jag ska lösa den här. Vad är ens den exakta definitionen av en terrasspunkt?

Uppgift c):

Här så antar jag att man ska utgå ifrån ett liknande typ av resonemang som jag gjorde i uppgift a), men om jag har fel så kan ni rätta mig.

Det är nästan alltid enklare att syssla med ekvationer än med olikheter, tycker jag, och så får man fundera på så småningom vilka intervall som blir aktuella.

Då har du ekvationen $( \frac{a}{3})^2 = \frac{1}{3}$ eller $a^2 = 3$ . Den ekvationen har två lösningar, och alla tal som ligger däremellan ger negativt under rottecknet.

Smaragdalena skrev :
Då har du ekvationen $( \frac{a}{3})^2 = frac{1}{3}$ eller $a^2 = 3$ . Den ekvationen har två lösningar, och alla tal som ligger däremellan ger negativt under rottecknet.

Lösningarna på din ekvation är $a_{1} = \sqrt{3} a_{2} = - \sqrt{3}$

Att säga att "alla tal som ligger däremellan ger negativt under rottecknet" verkar ju falskt, men du kanske menade någonting annat? eller så hänger jag inte helt med?

Alla tal i intervallet $- \sqrt3<a< \sqrt3$ ger ett värde på uttrycket under rot-tecknet i pq-formeln som är negativt och alltså gör att ekvationen y'=0 saknar reella lösningar, så då saknas det extrempunkter.

Smaragdalena skrev :
Alla tal i intervallet $- \sqrt3<a< \sqrt3$ ger ett värde på uttrycket under rot-tecknet i pq-formeln som är negativt

Hmm ..

Jag tror att jag kan köpa ditt resonemang. Tydlig redovisning skulle hjälpas, men jag tror att jag förstår nu faktiskt.

Dom andra uppgifterna då?

En terrasspunkt är där derivatan blir 0 utan att det är ett extremvärde - som funktionen $y = x^3$ exempelvis. Hur ser derivatan ut i det fallet? Du kommer att ha nytta av de beräkningar du redan har gjort.

Svara

Visa senaste svar