När har funktion gränsvärde i origo med konstant a

Något vi direkt kan konstatera är att det inte spelar någon roll vad $f(0)$ är, den punkten kommer inte avgöra något alls.

Jag tror inte heller det krävs något $\epsilon$-$\delta$-resonemang här. Börja helt enkelt med att titta på höger- och vänstergränsvärdet för $f$ runt $x=0$. Dessa måste vara lika för att gränsvärdet ska existera.

naytte skrev:

Något vi direkt kan konstatera är att det inte spelar någon roll vad $f(0)$ är, den punkten kommer inte avgöra något alls.

Jag tror inte heller det krävs något $\epsilon$-$\delta$-resonemang här. Börja helt enkelt med att titta på höger- och vänstergränsvärdet för $f$ runt $x=0$. Dessa måste vara lika för att gränsvärdet ska existera.

Tack. Jag ändrade så här. Men hur vet vi vad m ska vara i vänstergränsvärdet?

Som sagt, ett $\epsilon$-$\delta$-resonemang är inte passande här om det inte uttryckligen står att ett ska användas. Vi kan göra det väldigt lätt för oss istället:

$\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f\left(x\right)=\lim_{x \to 0^{-}}\left|x-a\right|=a$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x \to 0^{+}}\left(x^2+1\right)=1$

För att gränsvärdet ska existera i $x=0$ måste höger- och vänstergränsvärdet sammanfalla. Detta ger oss kravet $a=1$, alltså existerar gränsvärdet då $a=1$.

Vad händer om a = -1?

Oj, jag missade den detaljen! Snyggt fångat! Det ska ju egentligen stå att gränsvärdet är lika med beloppet av a. Och då får vi $|a|=1\iff a=\pm1$.