När har en funktion en invers?

De verkar mena en vänsterinvers.

Ofta när man säger invers så brukar man kräva att inversen skall vara både vänsterinvers och högerinvers.

Ja exakt. Om en funktion ska ha vänster och högerinvers, vad krävs då?

Edit: under fliken inversa funktioner står det det att "En funktion f är inverterbar om och endast om den är bijektiv". Det var min gissning också. Men betyder "f har en invers funktion om blabla" inte samma som "f är inverterbar om blabla"?

Qetsiyah skrev:

Ja exakt. Om en funktion ska ha vänster och högerinvers, vad krävs då?

Edit: under fliken inversa funktioner står det det att "En funktion f är inverterbar om och endast om den är bijektiv". Det var min gissning också. Men betyder "f har en invers funktion om blabla" inte samma som "f är inverterbar om blabla"?

En funktion har en vänsterinvers om och endast om funktionen är injektiv.

En funktion har en högerinvers om och endast om funktionen är surjektiv.

Om en funktion har både väster- och högerinvers så är inverserna lika och brukar därför vanligen bara benämnas invers. Detta är således ekvivalent med att funktionen är bijektiv.

Tack

Något som kanke kan vara värt att tillägga, är att en injektion $f:A\to B$ alltid går att göra om till en bijektion $f:A\to f(A)$ genom att begränsa målmängden till funktionens värdemängd [med andra ord: vi ignorerar allt som inte går att "nå" med funktionen]. Då blir ju funktionen automatiskt surjektiv, samtidigt som injektiviteten så klart bevaras! 

Exempelvis är $\arctan$ inte bijektiv (men väl injektiv) om vi betraktar det som en funktion $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, men den är bijektiv om vi betraktar det som en funktion $\mathbb{R}\to (-\pi/2,\pi/2)$.

Mm ja, men jag har en följdfråga. f: M->N. Vad betyder egentligen N? Om jag vill säga att arctangens målmängd är R, ska jag inte skriva R->R? Är N målmängden eller värdemängden?