När ger cosinussatsen/sinussatsen 2 fall? (Matematik/Matte 3/Trigonometri)

När det finns två möjliga trianglar. Tänk exempelvis på att $\sin (180^{\circ}-x) = \sin x$ .

Cosinussatsen ger alltid bara ett svar.

tomast80 skrev :
När det finns två möjliga trianglar. Tänk exempelvis på att $\sin (180^{\circ}-x) = \sin x$ .

Tack!

Dr. G skrev :
Cosinussatsen ger alltid bara ett svar.

Har en uppgift som ser ut såhär; "I triangeln ABC är sidan AB=18cm, sidan AC=12cm och vinkelnB=30 $°$ . Beräkna längden av BC med

a) cosinussatsen

b) sinussatsen

Varav det finns två lösningar på båda. Är det fel?

Ska försöka lösa den igen..

Det är två sätt att räkna ut längden bara. Borde ge samma svar. Kontrollera kalkyl!

Det finns två alternativa längder. Se lösning nedan med cosinussatsen $BC = x$ .

Vi börjar med b), den är enklast..

$\frac{a}{S i n A} = \frac{b}{S i n B} = \frac{c}{S i n C}$

där a=BC b=AC c=AB

Sidan a sökes. Varken a eller A (som är motstående varandra) är känt. Börjar därför med att räkna ut vinkeln C.

$\frac{S i n C}{c} = \frac{S i n B}{b} = \frac{S i n C}{18} = \frac{S i n 30}{12}$

Sin C ensam...

$S i n C = 18 * (1 / 2 / 12) = 0, 75$

$C = a r c \sin (0, 75)$

Vinkelsumman ger: $\land A = 180 - \land B - \land C \approx 101, 41 °$

Cosinussatsen ger nu: $\frac{a}{S i n A} = \frac{b}{S i n B} = \frac{a}{S i n 101, 41} = \frac{12}{S i n 30}$

Alltså: $a = S i n 101, 41 \frac{12}{S i n 30} \approx 23, 54 . .$

Slutsats: Första lösningen på b-uppgiften är 23,5 cm. Den andra lösningen är tydligen 7,7 cm. Hur gör jag för att få det?

tomast80 skrev :

Tack. Ska titta noggrannare på den.

Helette skrev :
Dr. G skrev :
Cosinussatsen ger alltid bara ett svar.
Har en uppgift som ser ut såhär; "I triangeln ABC är sidan AB=18cm, sidan AC=12cm och vinkelnB=30 $°$ . Beräkna längden av BC med
a) cosinussatsen
b) sinussatsen
Varav det finns två lösningar på båda. Är det fel?

Har du ritat?

(Standardsvar)

Du har missat alternativet:

$C = 180^{\circ} - \arcsin (0.75) \approx 131.4^{\circ}$

Detta ger en alternativ triangel.

Smaragdalena skrev :
Helette skrev :
Dr. G skrev :
Cosinussatsen ger alltid bara ett svar.
Har en uppgift som ser ut såhär; "I triangeln ABC är sidan AB=18cm, sidan AC=12cm och vinkelnB=30 $°$ . Beräkna längden av BC med
a) cosinussatsen
b) sinussatsen
Varav det finns två lösningar på båda. Är det fel?
Har du ritat?
(Standardsvar)

Ja. Mer eller mindre.

tomast80 skrev :
Du har missat alternativet:
$C = 180^{\circ} - \arcsin (0.75) \approx 131.4^{\circ}$
Detta ger en alternativ triangel.

Tack. Förstår inte riktigt varför man får göra så dock. :(

tomast80 skrev :
Du har missat alternativet:
$C = 180^{\circ} - \arcsin (0.75) \approx 131.4^{\circ}$
Detta ger en alternativ triangel.

Vilken formel är det?

Dr. G skrev :
Cosinussatsen ger alltid bara ett svar.

Jag bör förtydliga mig. Som jag ser det är det relevant att använda cosinussatsen när man

1. Känner till två sidor och mellanliggande vinkel

2. Känner till alla sidor och ingen vinkel

I dessa två fall är allt entydigt definierat. När man har två sidor och en icke mellanliggande vinkel (som här) hade jag alltid använt sinussatsen.

Helette skrev :
tomast80 skrev :
Du har missat alternativet:
$C = 180^{\circ} - \arcsin (0.75) \approx 131.4^{\circ}$
Detta ger en alternativ triangel.
Vilken formel är det?

Den jag skrev längre upp: $\sin (180^{\circ} -x = \sin x$ .

Exempelvis, om du har ekvationen: $\sin v = 0.5$ så kan $v$ antingen vara lika med $30^{\circ}$ eller $150^{\circ}$ . Om du räknar ut det med $\arcsin 0.5$ får du bara den första av detta lösningar p.g.a. värdemängden för arcsin-funktionen. Den ger bara svar i intervallet $-90^{\circ} \le v \le 90^{\circ}$ .

Dr. G skrev :
Dr. G skrev :
Cosinussatsen ger alltid bara ett svar.
Jag bör förtydliga mig. Som jag ser det är det relevant att använda cosinussatsen när man
1. Känner till två sidor och mellanliggande vinkel
2. Känner till alla sidor och ingen vinkel
I dessa två fall är allt entydigt definierat. När man har två sidor och en icke mellanliggande vinkel (som här) hade jag alltid använt sinussatsen.

Tack!

tomast80 skrev :
Helette skrev :
tomast80 skrev :
Du har missat alternativet:
$C = 180^{\circ} - \arcsin (0.75) \approx 131.4^{\circ}$
Detta ger en alternativ triangel.
Vilken formel är det?
Den jag skrev längre upp: $\sin (180^{\circ} -x = \sin x$ .
Exempelvis, om du har ekvationen: $\sin v = 0.5$ så kan $v$ antingen vara lika med $30^{\circ}$ eller $150^{\circ}$ . Om du räknar ut det med $\arcsin 0.5$ får du bara den första av detta lösningar p.g.a. värdemängden för arcsin-funktionen. Den ger bara svar i intervallet $-90^{\circ} \le v \le 90^{\circ}$ .

Tack. Tror faktiskt tankarna börjar connecta med detta nu!

$C_{2} = 180 ° - \land C_{1} = 180 ° - a r c \sin (0, 75) \approx 131, 41 ° V i n k e l s u m m a n g e r : 180 ° - B - C_{2} \approx 18, 59 ° R ä k n a r \sin u s s a t s e n s o m v a n l i g t : \frac{a}{S i n (18, 59)} = \frac{12}{S i n (30)} a \approx 7, 65 . . . \approx 7, 7 : D$

och a-uppgiften..

$C o \sin u s s a t s : b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c * \cos B 144 = a^{2} + 324 - 36 a * \cos 30 0 = a^{2} + 180 - 36 a * \frac{3^{0, 5}}{2} 0 = a^{2} + 180 - \frac{36 a * 3^{0, 5}}{2} = j ä t t e f e l ?$

Hittade problemet..

Tack så mycket för hjälpen allihopa!