När finns det en entydig lösning till ett ekvationssystem?

Det kvadratiska ekvationssystemet $\mathsf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ är entydigt lösbart då $\det\mathsf{A}\neq 0$. Matrisen $\mathsf{A}$ är inverterbar. Din lärobok listar liknande egenskaper, kolla gärna upp i boken.

Att en entydig lösning inte kan finnas om antalet kolonner är fler än antalet rader betyder förstås att en entydig lösning inte kan finnas om antalet obekanta är fler än antalet ekvationer.

Har jag förstått rätt?

Ja, det finns listat i läroboken såklart. Jag ska titta närmare.

Jag ska också titta närmare på detta med trappstegsform som inte är på reducerad trappstegsform. Det är jag osäker på hur det fungerar. Alltså när det inte är en diagonal med ettor samt nollor ovanför och nedanför, med en lösningsvektor till höger.

En matris med rangen lika med antal obekanta har entydig lösning så ja, du har en korrekt analys.

När du gör en Gausseliminering så landar du i ett trappsystem, ej reducerad trappform.

Detta är nog det vanliga när man handräknar.

Anm: Många program (typ Matlab) kör rref  dvs radreducerad trappform

Tack dr_lund

Ett nödvändigt krav för entydig lösning av Ax = b är att kolumnerna i matrisen A är linjärt oberoende.

Om så är fallet, och det finns någon lösning, så är denna lösning den enda.

Om antalet kolumner i A är fler än antalet rader så kan kolumnerna omöjligt vara linjärt oberoende, således ingen entydig lösning.