När du spelar poker får du ha 5 kort i handen. Beräkna sannolikheten att...

Hej, jag undrar om jag har tänkt rätt kring följande uppgift

När du spelar poker får du 5 kort i handen. Beräkna sannolikheten att
a) precis en av dem är en tia
b) precis 2 av dem är tior

a) $P (1 a v d e m ä r 10 : a) = 1 - \frac{48^{5}}{52^{5}} = 0, 33$

b) Att välja 2st 10:or ur 4st kan ske på $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 6$ st sätt

Resterande 3 kort kan väljas på $(\begin{matrix} 48 \\ 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ st sätt

Totalt: $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 48 \\ 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$

Och sen dividerar jag med $(\begin{matrix} 52 \\ 5 \end{matrix})$ . Men jag får fel svar.

På a när du har räknat med komplementhändelse så får du i så fall fram

$1 - P (i n g e n t i a) = P (m i n s t e n t i a)$

men de sökte EXAKT en tia

Försök räkna på samma sätt som med tärningarna i förra uppgiften

Tänk dessutom på att när ett kort väl är draget så finns inte 52 kort att välja från sen såvida inte ett identiskt kort återläggs i leken

SPOILER VARNING

Här nedan är två möjliga lösningar/tankesätt på A. Samma kan användas på B

Vi tänker att vi drar kort från högen fem stycken och vill få (ej tia, ej tia, ej tia, ej tia, tia)

Tänk på att för varje kort vi drar blir det ett kort färre i leken.

P(ej tia, ej tia, ej tia, ej tia, tia)= $\frac{48}{52} \cdot \frac{47}{51} \cdot \frac{46}{50} \cdot \frac{45}{49} \cdot \frac{4}{48}$ (tänk hela tiden gynnsamma/totala)

Däremot måste vi ta permutationerna i beaktning att välja ut vilken av de fem korten som ska vara tian

således P(exakt en tia)= $\frac{48}{52} \cdot \frac{47}{51} \cdot \frac{46}{50} \cdot \frac{45}{49} \cdot \frac{4}{48} \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{48}{52} \cdot \frac{47}{51} \cdot \frac{46}{50} \cdot \frac{45}{49} \cdot \frac{4}{48} \cdot 5$

Detta liknar hur vi gjorde med tärningarna men här sker utan "återläggning"

Sätt två: $\frac{g y n n s a m m a k o m b i n a t i o n e r}{a l l a k o m i n a t i o n e r}$

Alla kombinationer är att helt enkelt välja ut 5 kort av 52 alltså $(\begin{matrix} 52 \\ 5 \end{matrix})$

Gynnsamma kombinationer: Då ska vi av 4 stycken tior välja ut en och av övriga 48 kort välja ut fyra stycken

Detta kan då göras på $(\begin{matrix} 48 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})$

Och uppställningen

$\frac{g y n n s a m m a k o m b .}{t o t a l a k o m b .} = \frac{(\begin{matrix} 48 \\ 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 5 \end{matrix})} = \frac{\frac{48!}{44! \cdot 4!} \cdot 4}{\frac{52!}{5! \cdot 47!}} = \frac{\frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 4}{24}}{\frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{120}} = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 4}{24} \cdot \frac{120}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \cdot 5 \cdot 4$

Båda sätten leder till samma svar

Felet du gör på b är att du väljer ut för många kort. Du väljer ut totalt åtta kort (2+3+3). Tänk på att de nedre siffrorna i dina binomialkoefficienter alltid ska addera upp till det antal som du väljer ut

exempelvis om jag har 60 bollar där 30 är gröna, 20 är blå och 10 röda och jag ska ha kombinationerna där jag drar fem bollar där en ska vara grön, två ska vara blå och två ska vara röda så blir de kombinationerna

$(\begin{matrix} 30 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 20 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$ där talen där uppe summerar ihop till totala mängden bollar och talen där nere till så många jag väljer ut

Det kan man kontrollera så att det gäller.

Permutationerna som du vill multiplicera med behövs bara i det första sättet av de två som jag visade

Okej, jag tror felet jag gjorde var att jag tänkte att färgerna (spader, klöver, hjärter, ruter) spelade roll, som i fallet när man räknar i Poker & Yatzy. Men det gör det inte i det här fallet. Man söker efter just en 10:a eller två 10:or där färgen inte spelar någon roll.

Men jag förstår dina tankesätt och tycker att det andra tankesättet där man använder sig av permutationer är enklare. Så jag löste uppgift b) på det sättet.

$\frac{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 48 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 5 \end{matrix})}$ = 0,04

Tack för hjälpen! :)

Perfekt!

Svara

Visa senaste svar