När dog vargen?

Du kan lösa det med ett ekvationssystem, där du använder formen $y=C{a}^x$. Börja med att fundera på vad $C$ är i dessa fall.

C borde vara temperaturen och x borde vara tiden. Men hur kan man samla all info för att på bästa sätt lösa uppgiften?

abcdefghijklmo skrev:

C borde vara temperaturen och x borde vara tiden. Men hur kan man samla all info för att på bästa sätt lösa uppgiften?

Värdet på $C$ ändras aldrig, det är en konstant. Men du har rätt i att du kan sätta $x$ som tiden.Det gjorde jag också i min lösning.

Uppgiften säger att temperaturen på djuret är $36.9°$C innan den skjuts. Då är det också det precis när den har blivit skjuten, för $x=0$. Vad måste då $C$ vara?

Ett tips: $a^0=1$.

Då måste C vara 36,9 grader Celsius eftersom den ändras aldrig

abcdefghijklmo skrev:

Då måste C vara 36,9 grader Celsius eftersom den ändras aldrig

Ja, precis! För nästa steg:

Tänk dig att du sätter tiden vid den första mätningen som $x$, vad blir då tiden vid den andra mätningen?

Blir det y?

abcdefghijklmo skrev:

Blir det y?

Vi vet att den andra mätningen är 3 timmar efter den första, eller hur? Om tiden vid den första mätningen är $x$, måste den andra bli $x+$..?

x+3

abcdefghijklmo skrev:

x+3

Ja, exakt!

Utifrån den här informationen, kan du ställa upp två ekvationer?

$$\begin{gathered} y = C ·a^x \\ y = 36,9 ·a^x \\ y = 25,6 ·a^{x+3} \end{gathered}$$

Stämmer dessa?

abcdefghijklmo skrev:

$$\begin{gathered} y = C ·a^x \\ y = 36,9 ·a^x \\ y = 25,6 ·a^{x+3} \end{gathered}$$

Stämmer dessa?

Nja, den tredje ekvationen stämmer inte. $C$ är ju oföränderligt, det kommer alltså alltid gälla att $C=36.9$. Prova att skriva om den först.

Okej, då får vi:

$$\begin{gathered} y = 36, 9 ·a^x \\ y = 36, 9 ·a^{x+3} \end{gathered}$$

Jag tror att det är smartast att nog bryta ut a för att därmed få ett värde på a, så jag tänker att man får göra två ekvationer av detta så att vi får:

$36, 9 ·a^x = 36,9 ·a^{x+3}$

Jag tänker att man kan subtrahera 36,9 åt ena sidan så att vi blir av med dem. Känns det rimligt?

abcdefghijklmo skrev:

Okej, då får vi:

$$\begin{gathered} y = 36, 9 ·a^x \\ y = 36, 9 ·a^{x+3} \end{gathered}$$

Jag tror att det är smartast att nog bryta ut a för att därmed få ett värde på a, så jag tänker att man får göra två ekvationer av detta så att vi får:

$36, 9 ·a^x = 36,9 ·a^{x+3}$

Jag tänker att man kan subtrahera 36,9 åt ena sidan så att vi blir av med dem. Känns det rimligt?

Nej, det kommer inte att vara lösligt. Ekvationerna du har ställt upp är inte helt fullständiga, du har ju faktiskt värdet på $y$ i båda fallen. Ställ upp det så här istället:
$$\begin{gathered} 28=36.9·a^x \\ 25.6=36.9·a^{x+3} \end{gathered}$$

Du skulle kunna lösa ut $a$ men det är onödigt eftersom vi bara är ute efter värdet på $x$.

Prova och se om du kan lösa uppgiften nu.

Tillägg: 3 apr 2022 09:31

Och bara så du vet: anledningen till att du inte kan subtrahera 36.9 i båda leden är för att de är faktorer, de sitter liksom ihop med $a^x$ och $a^{x+3}$.

Om det hjälper kan du se det så här:
$(36.9·a^x)=(36.9·a^{x+3})$

Förhoppningsvis är det klart varför det inte går att bara subtrahera.

Du skulle kunna dividera bort 36.9 men då får du ekvationen $a^x=a^{x+3}$, som bara stämmer då $a=1$, men vi vet att $a<1$, eftersom temperaturen minskar.

$$\begin{gathered} 28 = 36,9 ·a^x \\ 25,6 = 36,9 ·a^{x+3} \\ 53,6 = 73,8 + ? \end{gathered}$$

Hur ska jag göra för att räkna ut exponenterna, använde btw additionsmetoden?

abcdefghijklmo skrev:

$$\begin{gathered} 28 = 36,9 ·a^x \\ 25,6 = 36,9 ·a^{x+3} \\ 53,6 = 73,8 + ? \end{gathered}$$

Hur ska jag göra för att räkna ut exponenterna, använde btw additionsmetoden?

Du kan inte använda additionsmetoden här. Man använder den när det går att eliminera en variabel, men det går inte här.

Använd istället substitutionsmetoden.

För att substituera kan jag göra 28-25,6 men hur ska jag fortsätta vid HL?

abcdefghijklmo skrev:

För att substituera kan jag göra 28-25,6 men hur ska jag fortsätta vid HL?

Du kan skriva om $a^{x+3}$ till $a^x·a^3$ och få följande ekvationssytem:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{28}{36.9}=a^x\\ \frac{25.6}{36.9}=a^x·a^3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}0,7588075881 = a^x\\ 0,6937669377 = a^x ·a^3\end{array}\right.$

Vad ska göras sen, ska jag göra roten ur båda?

abcdefghijklmo skrev:

$\left\{\begin{array}{l}0,7588075881 = a^x\\ 0,6937669377 = a^x ·a^3\end{array}\right.$

Vad ska göras sen, ska jag göra roten ur båda?

Räkna inte ut bråken, det blir inte exakt. Låt dem vara. Du kan byta ut $a^x$ i den undre ekvationen mot $\frac{28}{36.9}$.

$$\begin{gathered} \frac{25.6}{36.9}=\frac{28a^3}{36.9} \\ {a}^3=\frac{25.6}{28} \\ a=\sqrt[3]{\frac{25.6}{28}} \end{gathered}$$

sen löser du $x$ och då vet du hur många timmar efter skjutningen den första mätningen ägde rum. Räkna sedan bakåt så många timmar från 21:00 och voilà, vi är hemma.

Nu när vi vet värdet av a, ska jag ställa den i ekvationen som vi hade från början??

abcdefghijklmo skrev:

Nu när vi vet värdet av a, ska jag ställa den i ekvationen som vi hade från början??

Det är bara att stoppa in det i någon av ekvationerna och lösa ut x.

$\frac{28}{36,9} = {\sqrt[3]{\frac{25,6}{28}}}^x$

Kan man inte börja multiplicera 36,9 på båda sidorna?

abcdefghijklmo skrev:

$\frac{28}{36,9} = {\sqrt[3]{\frac{25,6}{28}}}^x$

Kan man inte börja multiplicera 36,9 på båda sidorna?

Det är nog smartast att logaritmera båda sidorna först.

$lg \frac{28}{36,9} = ?$

Kommer det stå lg framför rottecknet?

abcdefghijklmo skrev:

$lg \frac{28}{36,9} = ?$

Kommer det stå lg framför rottecknet?

$$\begin{gathered} lg\left(\frac{28}{36.9}\right)=lg({\left(\sqrt[3]{\frac{25.6}{28}}\right))}^x \\ x=\frac{lg\left(\frac{28}{36.9}\right)}{lg\left(\sqrt[3]{\frac{25.6}{28}}\right)} \end{gathered}$$

Så vargen dog när $x=\frac{lg\left({\displaystyle \frac{28}{36,9}}\right)}{lg \left(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{25,6}{28}}}\right)}$, eller hur?

abcdefghijklmo skrev:

Så vargen då när $x=\frac{lg\left({\displaystyle \frac{28}{36,9}}\right)}{lg \left(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{25,6}{28}}}\right)}$, eller hur?

Det är så många timmar efter vargens död som man gör första mätningen. Du måste räkna tillbaka så många timmar från kl. 21:00 för att få reda på tiden när den dog. Det kan vara användbart att använda miniräknare.

Men vi har bara fått reda på att tiden är 21:00, hur ska jag veta hur många timmar det har gått?

abcdefghijklmo skrev:

Men vi har bara fått reda på att tiden är 21:00, hur ska jag veta hur många timmar det har gått?

Som jag sade ovan, $x$ i det här fallet är hur många timmar efter skjutningen mätningen vid 21:00 görs. Det betyder att det har gått $\frac{lg\left({\displaystyle \frac{28}{36.9}}\right)}{lg\left(\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{25.6}{28}}}\right)}\approx 9.24$ timmar tills man mäter för första gången, kl 21:00. Det innebär att du måste räkna tillbaka så många timmar på klockan från kl 21:00 för att veta när vargen dog. 

Klockan var alltså ca 12 när vargen dog.

21-9 =12$\approx$12,4

abcdefghijklmo skrev:

Klockan var alltså ca 12 när vargen dog.

21-9 =12$\approx$12,4

$$\begin{gathered} 21-9.2\approx 11.8 \\ 0.8·60=48 \end{gathered}$$

Vargen dog runt kl 11:48.

Gångrar du med 60 eftersom en timme är 60 minuter?

abcdefghijklmo skrev:

Gångrar du med 60 eftersom en timme är 60 minuter?

Japp.