När blir det fel om man betraktar differentialer som tal som kan manipuleras algebraiskt?

Du har definitivt rätt i att Leibniz betraktade dx som "en infinitesimal förändring i x" ( och många andra matematiker efter honom åtminstone fram till dess att Weierstrass redde ut vad ett gränsvärde är).

Ska du hitta ett exempel där det blir fel att tänka på dem som tal får du nog utnyttja att de inte är två 'oberoende' tal  de är ju kopplade till varandra via den deriverade funktionen.

För som du säger - det funkar ju.

Och de ÄR ju i alla fall inte tal även om de lyder (flertalet av)? räknelagarna.

Och de är heller inte gränsvärden ( som dy/dx är)

-- mats,  ute på tunn is

Vilken bra fråga! Jag tänkte passa på att erkänna att inte heller jag tycker det är en självklarhet varför man _inte_ får se differentialen ha ett värde (Och jag har överlevt, iallafall fram till nu)

Men man kan ju få spekulera lite ändå (nu är jag ute på synnerligen djupt vatten...). Jag tror att det bara har att göra med strikta matematiska definitioner och att dx är oändligt liten, dvs per definition mindre än alla andra värden, och därför inte har något värde. Och att tex dela med noll är ju förbjudet... etc...

Men som du säger, i praktiken kan man nog alltid se differentialen som om den har ett värde, men väldigt väldigt litet. Den har ju till exempel uppenbarligen samma dimension som variabeln.
Om x är en sträcka som mäts i meter och t är en tid som mäts i sekunder, så mäts dx/dt i meter per sekund etc.

Det vore lärorikt att bli tillrättavisad om detta.

Du kanske känner till att

 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dy}}}$

Men det stämmer inte att

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{y}^2}}}$

(Man kan dock räkna på för vilka funktioner detta stämmer - testa gärna)

Jag tror, precis som vid nabla operationer, att man måste vara ganska försiktig med differentialer. Om man förstår vad man gör samt vad man menar med en differential så är det nog ingen fara. 

ItzErre skrev:

Du kanske känner till att

 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dy}}}$

Men det stämmer inte att

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{y}^2}}}$

Skillnaden i just det fallet är väl att $\displaystyle \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2}$ faktiskt bara är notation, medan man kan tolka $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ som mer än bara notation?

Om man förstår vad man gör samt vad man menar med en differential så är det nog ingen fara. 

Ja, det är väl det här som är kruxet. Jag tror jag förstår vad en differential är men uppenbarligen finns det mer under ytan jag inte förstår ännu. Kan man utvidga "definitionen" "en infinitesimal förändring i x" på något sätt så att den blir mer korrekt? Hur skulle man formellt definiera en differential?

Ja, problemet ser snarare ut att vara ett notationsproblem än ett matematiskt problem

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\ne {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2$

Detta säger vår framtida överman GPT om saken (mattekunniga kan ju fact checka;)):

"However, it's important to note that $\frac{dy}{dx}$​ is not a fraction in the traditional sense. It is a limit, representing the rate of change of y with respect to x. While you can often treat it as a fraction and use algebraic manipulations, there are situations where this treatment requires caution:

Chain Rule:
When using the chain rule, $\frac{dy}{dx}$ can be manipulated as a fraction, but you should be careful with the chain rule terms and ensure proper application.

Implicit Differentiation:
When dealing with implicit functions, treating $\frac{dy}{dx}$ as a fraction is a common technique, but you need to be aware of implicit differentiation rules.

Non-Separable Differential Equations:
In solving certain types of differential equations, treating $\frac{dy}{dx}$ as a fraction may not always lead to straightforward separation of variables.

Higher Derivatives:
When taking higher derivatives, the interpretation of $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$as a fraction of differentials becomes more complex, and the chain rule and other rules need careful application.

Limits and Infinitesimals:
In a rigorous mathematical context, treating $\frac{dy}{dx}$ as a fraction involves working with limits and infinitesimals, and certain care must be taken in formal mathematical reasoning.
While the differential notation is a powerful and convenient tool, it's crucial to understand the underlying mathematical concepts and be aware of cases where a more rigorous approach may be necessary, especially in advanced calculus and analysis."

Om man skriver df/dx eller bara Df blir det aningen lättare att uppfatta beteckningen som den operator på ett rum av funktioner som den är. Reglerna för sådana är fullt tillämpbara också för derivationsoperatorn (som ju dessutom är linjär).