När är integralen konvergent?

Prova det som verkar lättast.

Laguna skrev:

Prova det som verkar lättast.

Jag provade att integrera men det blir svårt. Kan man använda att jämförelsesatsen genom att säga att $0\le \frac{1}{1+x^p}\le \frac{1}{x^p}$och då kan man titta på $\frac{1}{x^p}$istället.

Så kan man göra. Det resulterar i att man får p-värden för vilka man vet att det konvergerar. Men vi har ju gjort en uppskattning av integranden. Hur vet man då att detta är Alla p-värden som ger konvergens, dvs att den Divergerar för alla andra p- värden?

Tomten skrev:

Så kan man göra. Det resulterar i att man får p-värden för vilka man vet att det konvergerar. Men vi har ju gjort en uppskattning av integranden. Hur vet man då att detta är Alla p-värden som ger konvergens, dvs att den Divergerar för alla andra p- värden?

Ja det är det jag har lite svårt med. Går det att integrera $\frac{1}{1+x^p}$?

Prova vad som händer om du tar uppskattningen  1(1+x^p)>=1/2x^p, men minska först integrationsintervallet till (1, oändl.) för att undvika falsk divergens i 0. Integranden är ju positiv och kontinuerlig i intervallet (0,1) så där ställer den inte till några bekymmer. 

Obs Hade inte klamrar när jag skrev intervallen i mitt inlägg. Intervallen ska vara slutna.